Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

88 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
D’altra parte, definita u0 = τu1 + (1 − τ)u2, calcoli analoghi conducono a
di modo che J ρ , per
non è convesso.
J(u0) > (σ1 + σ2)m(I0)
,
2
ρ = (σ1 + σ2)m(I0)
,
2
Infine, (7.10.2) segue da (7.6), e con questo la dimostrazione è conclusa.
L’operatore T : X → X che regge il problema (7.7) è definito da
per ogni u ∈ X, e ha le seguenti proprietà:
T (u) = u + J ′ (u)
Lemma 7.11. Siano X, J, T come sopra. Allora, è verificata la condizione
(7.11.1) lim T (u) = +∞;
u→+∞
inoltre, T è un operatore chiuso e proprio.
Dimostrazione. Da (7.10.2) si deduce agevolmente che
d’altra parte, per ogni u ∈ X si ha
il che implica (7.11.1).
J
lim
u→+∞
′ (u)
= 0;
u
T (u) ≥ u
1 − J ′
(u)
,
u
Ora dimostriamo che T è una mappa chiusa: sia C un sottoinsieme chiuso di X,
proveremo che T (C) è parimenti chiuso; sia dunque {un} una successione in C tale che
T (un) → v per un opportuno v ∈ X, allora esiste un’estratta {unk } tale che J ′ (unk ) → w
per qualche w ∈ X (Lemma 7.10).
Dunque
unk = T (unk ) − J ′ (unk ) → v − w,
da cui v − w ∈ C; inoltre, risulta J ′ (v − w) = w, donde
cioè in particolare v ∈ T (C).
T (v − w) = v
Infine, T è proprio per il Teorema 7.7.
Possiamo ora introdurre il risultato principale, che descrive la struttura dell’insieme
dei punti di biforcazione per il problema (7.7) e fornisce anche informazioni sulle soluzioni
di (7.7) quando v non è un punto di biforcazione: