Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazioni emivariazionali 27
Lr′ elemento di Lr′ (Ω) e porre per ogni v ∈ Lr (Ω)
〈u ∗
, v〉 = u ∗ (x)v(x)dx.
(Ω); in particolare, per ogni u ∈ L r (Ω) e u ∗ ∈ ∂JH(u), si può vedere u ∗ come un
Ω
Ciò chiarisce, ci sembra, il significato di (4.1.1).
Presentiamo ora una situazione generica, alla quale ricondurremo alcuni problemi specifici
nel séguito: siano p > 1 un numero reale e (X, · ) uno spazio di Banach con duale
(X ∗ , · ∗) strettamente convesso, A : X → X ∗ la mappa di dualità indotta dalla funzione
peso t ↦→ tp
p (vedi Sezione 2.2); assumiamo inoltre che l’immersione X ↩→ Lr (Ω) sia
continua (identificheremo pertanto X con un sottospazio di L r (Ω)).
che
Chiameremo disequazione emivariazionale il seguente problema: trovare u ∈ X tale
(4.2) 〈A(u), v − u〉 ≤ H ◦ s (x, u(x); v(x) − u(x))dx per ogni v ∈ X.
Ω
Non v’è ambiguità fra questa definizione e quella astratta data nella Sezione 3.1: difatti,
introdotto il funzionale Φ : X → R ponendo per ogni u ∈ X
Φ(u) = up
p
− JH(u),
il problema (4.2) è ricondotto a una disequazione variazionale in senso astratto:
Lemma 4.2. Siano Ω, H, X e Φ come sopra. Allora, il funzionale Φ : X → R è ben
definito e localmente lipschitziano, e ogni punto critico di Φ è una soluzione di (4.2).
Dimostrazione. Per i Lemmi 2.6, 3.4, 3.5 e 4.1, Φ è localmente lipschitziano e verifica
per ogni u, v ∈ X
Φ ◦ (u; u − v) ≤ 〈A(u), u − v〉 + J ◦ H(u; v − u);
ergo, se u ∈ X è un punto critico per Φ, da (4.1.3) si ottiene (4.2).
Le disequazioni emivariazionali hanno anche una forma multivoca, in cui appaiono
come inclusioni differenziali del tipo seguente: trovare u ∈ X tale che
(4.3) A(u) ∈ ∂sH(x, u) per q.o. x ∈ Ω.
Anche questo problema, infatti, si riconduce a una disequazione variazionale astratta:
Lemma 4.3. Siano Ω, H, X e Φ come sopra. Allora, ogni punto critico di Φ è una
soluzione di (4.3).
Dimostrazione. Sia u ∈ X un punto critico di Φ: prima di tutto, estenderemo il
funzionale lineare continuo A(u) ∈ X ∗ allo spazio L r (Ω).
Proviamo dapprima che A(u) è continuo anche rispetto alla topologia indotta su X
dalla norma · r: siano {vn} una successione in X con vnr → 0, e L > 0 una costante
di Lipschitz per JH in un intorno di u; allora, per il Lemma 3.5 si ha
〈A(u), vn〉 ≤ J ◦ H(u; vn) ≤ Lvnr,