Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Nonlinearità discontinue e simmetriche 59
Dimostriamo che u0, u1 sono punti critici di Eλ,µ : Y → R: difatti tale funzionale è
G–invariante, come si prova osservando che per ogni g ∈ G e ogni u ∈ Y
Eλ,µ(gu) = gu2
2
= gu2
2
= u2
2
− λ
− λ
Ω
Ω
F (x, u(g −1
x))dx − µ G(x, u(g
Ω
−1 x))dx
F (gy, u(y))dy − µ G(gy, u(y))dy
− λ F (y, u(y))dy − µ
Ω
Ω
Ω
G(y, u(y))dy = Eλ,µ(u).
Inoltre, la restrizione di Eλ,µ a X differisce da ψ(·, λ)+µΦ(·) per una costante: dunque,
per il Teorema 3.20 (ridotto al caso χ ≡ 0), u0 e u1 sono punti critici di Eλ,µ.
Per il Lemma 5.13, si conclude che per ogni µ ∈]0, µ1[ il problema (5.31) ha almeno
due soluzioni simmetriche con norme minori di σ1 e (5.17.1) è acquisita.
e
Prima di dimostrare (5.17.2), occorre svolgere un po’ di calcoli: siano ¯µ ∈ R tale che
R = σ2 1
2
posto per ogni t > 0
si ha chiaramente
ϑ(t) =
0 < ¯µ <
1
2b∞c 2 2
2
+ λ1a∞ c2σ 2 1 + c r rσ r 1 + ¯µ (a2c2σ1 + a∞c r rσ r 1) ;
1
2 − ¯µb∞c 2
2 t 2 − λ1b r
r−q cqrt q − (λ1 + ¯µ)b1,
(5.38) lim ϑ(t) = +∞;
t→+∞
in particolare, esiste σ2 > σ1 tale che per ogni t ≥ σ2
(5.39) ϑ(t) > R.
Siano ora λ, g come in (5.17.2): trovato µ1 > 0 come in (5.17.2), si ponga
µ2 = min{µ1, ¯µ};
fissato µ ∈]0, µ2[, si ricava per ogni u ∈ X (rammentiamo che δ > 0)
Eλ,µ(u) ≥ u2
2
≥ u2
2
= ϑ(u);
− λ
− λ1
Ω
b(x) (1 + |u(x)| q
) dx − µ b(x)
Ω
1 + |u(x)| 2 dx
b1 + b r
r−q cq ru q
− ¯µ b1 + b∞c 2 2u 2