Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

90 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
D’altra parte, sia v ∈ X \ T (ST ): allora, da (7.8) segue facilmente
Σv ∩ (ST − v) = ∅.
Quindi v non è un punto di biforcazione per Σ: infatti, per ogni u ∈ Σv si ha che
u + v /∈ ST , sicché T è un omeomorfismo locale in u + v; in particolare esiste un intorno U
di u tale che la restrizione T : U + v → T (U + v) è iniettiva, quindi v non può verificare
la Definizione 7.1.
Con ciò, (7.12.1) è dimostrata.
Proviamo ora (7.12.2): sia v ∈ X \ T (ST ), e sia definito un funzionale Φ : X → R
ponendo per ogni u ∈ X
Φ(u) = u2
2
+ J(u + v);
si vede subito che Ψ ∈ C 1 (X, R), con derivata espressa per ogni u ∈ X da
Φ ′ (u) = u + J ′ (u + v) = T (u + v) − v,
sicché, per (7.8), Σv coincide con l’insieme dei punti critici di Φ.
Il funzionale Φ è coercivo: per dimostrarlo, osserviamo che J, essendo un funzionale
con derivata continua e compatta, è sequenzialmente debolmente continuo (si veda [118]),
quindi la sua restrizione alla palla B(0, 1) ammette minimo m ∈ R; applicando (7.6),
otteniamo allora che per ogni u ∈ X, u = −v,
rammentando che α < 2, si deduce che
Φ(u) = u2
2 + u + vα
u + v
J
u + v
≥ u2
2 + mu + vα ;
lim Φ(u) = +∞.
u→+∞
Inoltre, Φ è sequenzialmente debolmente s.c.i., dunque ammette minimo globale in X:
dunque Σv = ∅.
Dal Teorema 7.11, T è proprio, il che, congiunto con (7.8), implica che Σv è compatto;
inoltre, poiché v /∈ T (ST ), ogni u ∈ Σv ammette un intorno U tale che la restrizione di T
all’insieme U + v è iniettiva e in particolare
Σv ∩ U = {u},
cioè Σv è discreto: un insieme compatto e discreto in uno spazio di Hilbert è finito, e ciò
prova (7.12.2).