Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazione con ostacolo 65
Senza perdita di generalità, in (5.43) supponiamo
allora, posto
1
k0
k 02
0
F (s)ds < 1
k1
k 12
δ = ζJ(w0) + (1 − ζ)J(w1)
= 2ζ
k0
si deduce agevolmente (5.3.1).
k 02
0
2(1 − ζ)
F (s)ds +
0
k1
F (s)ds;
k 12
0
F (s)ds,
Proviamo ora (5.3.2), ponendo (secondo il simbolismo di [11])
A = (J(w1) − δ)I(w0) + (δ − J(w0))I(w1)
J(w1) − J(w0)
= 1
2 [ζk0 + (1 − ζ)k1] ,
B =
1
A 2
2
= 1
2 [ζk0 + (1 − ζ)k1] 1
2 ;
per ogni u ∈ J δ vale (grazie a (5.44)) la catena di diseguaglianze
da cui, usando (4.6.1), si ottiene
ovvero
max F (s) < δ ≤ J(u) ≤ max F (s),
|s|≤B |s|≤u∞
B < u∞ ≤ 1
2 u,
A < I(u).
Il funzionale I è coercivo e sequenzialmente debolmente s.c.s. e l’insieme J δ è sequenzialmente
debolmente chiuso (Lemma 5.20), quindi
inf I(u) > A.
u∈J δ
Ciò prova (5.3.2) e conclude la dimostrazione.
Possiamo ora introdurre il risultato principale:
Teorema 5.23. Siano a, F come sopra. Allora, esistono λ0, λ1 > 0 e σ1, σ2 > 0 tali
che λ0 < λ1 e
(5.23.1) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[
il problema (5.46) ammette almeno due soluzioni in C ∩ B(0, σ1);