Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

84 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Allora, esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme ˆ ST¯ λ contiene almeno un punto di accumulazione.
Un’altra nozione cui faremo riferimento nel séguito è quella di operatore proprio, di
cui ricordiamo la definizione.
Definizione 7.6. Siano (X; τ) uno spazio topologico, T : X → X un operatore: T è
proprio se T −1 (K) è compatto per ogni sottoinsieme compatto K di X.
Un’importante classe di operatori proprî è individuata dal seguente risultato di Sadyrkhanov.
Teorema 7.7. ([103], Theorem 1.1) Siano (X, ·) uno spazio di Hilbert con dim(X) =
∞, T : X → X un operatore continuo, chiuso e non costante. Allora, T è proprio.
Infine, includiamo per completezza il classico Teorema dell’invarianza del dominio,
enunciato in una forma adatta ai nostri scopi.
Teorema 7.8. ([117], Theorem 16.C) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, O un
sottoinsieme aperto di X, R : O → X un operatore continuo e compatto. Inoltre l’operatore
T : O → X definito per ogni u ∈ O da
sia iniettivo. Allora, T è aperto.
T (u) = u + R(u)
7.2 Alcuni richiami sui sistemi del secondo ordine
In questa Sezione richiamiamo alcuni elementi della teoria dei sistemi di equazioni differenziali
ordinarie del secondo ordine con condizioni agli estremi periodiche, quale è esposta nel
testo di Mawhin e Willem [80]: denotato I = [0, 1], siano N ∈ N (N > 1) e A(·) = [aij(·)]
una matrice simmetrica N × N i cui termini sono funzioni aij ∈ L ∞ (I) (i, j = 1, . . . N), e
sia verificata, per un opportuno ν > 0, la seguente condizione:
(7.1) (A(x)s) · s ≥ ν|s| 2 per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ R N .
Il simbolo H1 1 indica lo spazio delle funzioni u ∈ L2 (I, RN ) che ammettono derivata
debole ˙u ∈ L2 (I, RN ) e verificano u(0) = u(1): in particolare, ogni u ∈ H1 1 è una funzione
assolutamente continua, sicché ammette una derivata classica, coincidente con ˙u, quasi
si può definire un prodotto scalare ponendo per ogni
ovunque in I; in forza di (7.1), su H1 1
u, v ∈ H1 1
1
〈u, v〉 =
0
[ ˙u(x) · ˙v(x) + (A(x)u(x)) · v(x)] dx,
e questo induce una norma definita per ogni u ∈ H 1 T da
1
u = [| ˙u(x)| 2 + (A(x)u(x)) · u(x)] dx.
Il seguente Lemma stabilisce le proprietà di H 1 1 :
0