Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

50 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Dimostreremo adesso che
(5.23) c ≤ R;
a tal fine, definiamo il cammino ¯γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
¯γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0
e osserviamo che per ogni τ ∈ [0, 1] si ha ¯γ(τ) ∈ C ∩ B(0, σ1) e
Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤ I(¯γ(τ)) + λ1|JF (¯γ(τ))| + ¯µ|JG(¯γ(τ))|
≤ I(¯γ(τ)) + λ1k ¯γ(τ) p p + ¯γ(τ) r r + ¯µk [¯γ(τ)1 + ¯γ(τ) r r] ≤ R,
quindi, poiché
si ha (5.23).
Da (5.22) e (5.23) segue che
c ≤ sup Eλ,µ(¯γ(τ)),
τ∈[0,1]
u2 < σ2,
di modo che u0, u1, u2 ∈ C ∩ B(0, σ2); inoltre, per il Lemma 5.4, si tratta di tre soluzioni
del problema (5.14).
Questo conclude la dimostrazione.
Due brevi osservazioni: per il problema (5.14), che coinvolge due parametri reali λ, µ e
una perturbazione rappresentata dalla funzione G, il Teorema 5.9 garantisce l’esistenza di
due (o tre) soluzioni le cui norme sono dominate da una costante σ1 (o σ2) indipendente
da λ, µ e G; inoltre, diversamente da quanto accade sovente nello studio di problemi di
questo tipo, le ipotesi non implicano che il problema (5.14) ammetta la soluzione nulla (si
veda, in particolare, (5.11)), sicché nessuna sua soluzione può dirsi “banale”.
D’altra parte, è doveroso osservare come il metodo esposto nella presente Sezione non
sia l’unico atto a trovare soluzioni non–negative per inclusioni differenziali: nelle stesse
ipotesi, infatti (con particolare riferimento alle condizioni (5.10) e (5.13)), è possibile
trattare il problema attraverso il metodo dei troncamenti senza ricorrere ai funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos (per una applicazione del metodo dei troncamenti a problemi
simili a quello qui studiato si veda il lavoro di Kyritsi e Papageorgiou [74]).
In conclusione, presentiamo un esempio tipico di potenziali localmente lipschitziani che
soddisfano le nostre ipotesi: ci sia consentito rilevare qui come questa classe di potenziali
appaia particolarmente adatta all’applicazione del metodo esposto; infatti, le condizioni
imposte sul potenziale principale F (segnatamente (5.6)) richiedono che esso mostri comportamenti
diversi in prossimità di zero e all’infinito, il che è perfettamente normale per
un potenziale localmente lipschitziano, ma non troppo comune per un potenziale di classe
C 1 .