Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 7
Punti di biforcazione per sistemi
hamiltoniani
La teoria della biforcazione è una disciplina complessa e dotata di applicazioni in vari
settori dell’analisi matematica: in modo alquanto grossolano ma efficace, possiamo descriverne
lo spirito dicendo che questa teoria studia problemi dipendenti da un parametro,
con particolare attenzione a quei valori del parametro in prossimità dei quali il numero
delle soluzioni del problema cambia.
Un’esposizione esauriente della teoria della biforcazione si può trovare nella monografia
[23] che Chow e Hale hanno dedicato all’argomento (rimandiamo il lettore anche al testo
di Ambrosetti e Prodi [2], che contiene diversi interessanti risultati): da essa traiamo la
seguente, generalissima Definizione.
Definizione 7.1. ([23], p. 2) Siano (X, τX), (Y, τY ) spazi topologici, Σ ⊂ X × Y un
insieme non vuoto e x ∈ X: x è un punto di biforcazione per Σ se esistono y ∈ Σx e tre
successioni {xn} in X, {y 1 n}, {y 2 n} in Y tali che y 1 n, y 2 n ∈ Σxn, y 1 n = y 2 n per ogni n ∈ N e
lim n xn = x, lim n y 1 n = lim n y 2 n = y.
La Definizione 7.1 formalizza l’idea seguente: si consideri un problema, dipendente
da un parametro x ∈ X, le cui soluzioni sono da cercare in Y , e Σ sia definito come
l’insieme delle coppie (x, y) tali che y è soluzione del problema indotto dal valore x del
parametro; allora x ∈ X è un punto di biforcazione per Σ se induce un problema che
ammette (almeno) una soluzione y ∈ Y tale che, per valori del parametro prossimi a x, i
problemi corrispondenti hanno due soluzioni distinte prossime a y.
Di solito, questo approccio viene seguito nello studio di problemi dipendenti da un
parametro reale (X = R): in questo Capitolo esamineremo invece (nello stesso spirito del
Capitolo 6) problemi dipendenti da un elemento dello stesso spazio in cui cerchiamo le
soluzioni (X = Y ), riprendendo i risultati stabiliti da Faraci e dall’autore della presente
tesi in [47].
Più precisamente, ci occuperemo di sistemi hamiltoniani, stabilendo che, sotto opportune
ipotesi, i punti di biforcazione per un sistema non lineare costituiscono un insieme
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