Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 4
Problemi variazionali: uno sguardo
d’insieme
Utilizzando la teoria del minimax, si possono ricavare dei risultati di esistenza e molteplicità
per i punti critici di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, che si traducono in
teoremi relativi alle soluzioni di problemi variazionali non lineari di diversi tipi.
In questo Capitolo ci proponiamo di offrire un’impostazione generale di tali problemi,
presentando alcuni risultati che saranno sfruttati nel séguito: introdurremo le disequazioni
emivariazionali (Sezione 4.1) e le disequazioni variazionali–emivariazionali (Sezioni 4.2 e
4.3), quindi mostreremo come si possano ricondurre ai modelli precedenti certi problemi
al contorno con nonlinearità discontinue (Sezione 4.4).
I risultati presentati di séguito saranno impiegati nei Capitoli 5 e 6; nel Capitolo 7 ci si
occuperà invece di sistemi hamiltoniani, seguendo un approccio solo in parte variazionale,
quindi introdurremo qualche elemento di teoria per tali problemi solo nel Capitolo a essi
dedicato.
4.1 Disequazioni emivariazionali
Nella Sezione 3.1, abbiamo introdotto le disequazioni emivariazionali (astratte), definendole
come il problema di trovare i punti critici di un funzionale localmente lipschitziano:
in questa Sezione, daremo a questo problema una forma più concreta, riferendoci a una
particolare classe di funzionali localmente lipschitziani, definiti sugli spazi di Lebesgue (o
sui loro sottospazi); la nostra fonte principale sarà il libro di Motreanu e Panagiotopoulos
[81], ma facciamo anche riferimento al lavoro di Chang [22].
Premettiamo alla descrizione del problema una breve ricognizione bibliografica: le disequazioni
emivariazionali furono introdotte da Panagiotopoulos in [86], come una generalizzazione
delle disequazioni variazionali al caso (frequente in meccanica) di potenziali
non convessi; lo studio di disequazioni emivariazionali su dominî illimitati fu inaugurato
da Gazzola e Rădulescu in [52] e sviluppato nei lavori di Kristály [66], [64], di Dályai e
Varga [31], di Varga [114].
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