Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Punti di sella 5
Allora, esistono λ0, λ1 ∈ Λ tali che λ0 < λ1 e che per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni Φ : X → R,
µ0 > 0 verificanti
(1.6.4) inf
x∈ψ(·,λ) ρ Φ(x) > −∞;
0
(1.6.5) ψ(·, λ) + µΦ(·) è s.c.i. per ogni µ ∈]0, µ0[,
esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ la funzione ψ(·, λ) + µΦ(·) ha almeno due punti
di minimo locale rispetto alla topologia τ ψ(·,λ) nell’insieme ψ(·, λ) ρ0 .
Dimostrazione. Definiamo l’insieme Λ2 degli elementi λ ∈ Λ tali che esistano Φ, µ0 e
una successione {¯µn} come nella condizione (1.5.3): l’insieme Λ2 non è denso in Λ, come
dimostriamo per assurdo.
Supponendo Λ2 denso in Λ, anche l’insieme Λ0 := Λ1∩Λ2 risulta denso in Λ (ricordiamo
che Λ1 è aperto): dunque sono verificate le condizioni (1.5.1), (1.5.2), (1.5.3); dal Teorema
1.5 segue allora l’eguaglianza del minimax, contro l’ipotesi (1.6.1): una contraddizione.
Siano allora λ0, λ1 ∈ Λ tali che λ0 < λ1 e [λ0, λ1] ⊆ Λ \ Λ2: per la definizione di Λ2, la
tesi è provata.
1.4 Punti di sella
Una nozione strettamente legata a quella di minimax è quella di punto di sella, che
formalizziamo come segue:
Definizione 1.7. Siano X, Y insiemi non vuoti, ψ : X × Y → R. Un punto di sella è
una coppia (¯x, ¯y) ∈ X × Y verificante le seguenti eguaglianze:
inf
x∈X
ψ(x, ¯y) = ψ(¯x, ¯y) = sup ψ(¯x, y).
y∈Y
Un teorema di punto di sella è ovviamente un risultato che, sotto opportune ipotesi su
X, Y e ψ, garantisce l’esistenza di un punto di sella.
Osserviamo come, nella situazione descritta sopra, l’eguaglianza del minimax sia sempre
verificata, sicché ogni teorema di punto di sella diventa un teorema di minimax: non
è quindi inappropriato riportare in questo Capitolo il seguente risultato, di cui si farà uso
nel Capitolo 8.
Teorema 1.8. ([118], Theorem 49.A) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, Λ ⊆ R un
intervallo compatto, ψ : X × Λ → R una funzione verificante le seguenti condizioni:
(1.8.1) ψ(·, λ) è continua e convessa per ogni λ ∈ Λ;
(1.8.2) ψ(u, ·) è continua e concava per ogni u ∈ X;
(1.8.3) esiste λ0 ∈ Λ tale che
lim
u→+∞ ψ(u, λ0) = +∞.