Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

38 Capitolo 5. Problemi con due parametri
(su cui ritorneremo in séguito), Bonanno e Candito [13], Cordaro [29], [30], Kristály [65],
Kristály e Varga [70], Livrea [77], nonché dello stesso Ricceri [91].
Parallelamente, il Teorema 5.1 ha conosciuto diverse estensioni: fra queste appare particolarmente
importante, nella prospettiva della presente tesi, quella stabilita da Marano e
Motreanu in [79], in cui Φ e Ψ sono sostituiti da funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos;
questa nuova versione del risultato consente applicazioni a quella vasta classe di problemi
variazionali (descritti nel Capitolo 4) che si riconducono al modello generale delle disequazioni
variazionali–emivariazionali (si vedano, per esempio, l’articolo di Bonanno [12],
quello di Bonanno e Candito [14] e quello di Kristály [64]); segnaliamo inoltre i lavori
di Kristály, Lisei e Varga [68] e di Kristály e Rădulescu [69], in cui sono esaminati altri
problemi differenziali.
Il Teorema 5.1, com’è ovvio, è basato sulla teoria del minimax: grosso modo, l’idea alla
base della sua dimostrazione è che, se la funzione ψ : X × Λ → R definita da
ψ(u, λ) = Φ(u) + λ(δ − Ψ(u))
non verifica l’eguaglianza del minimax (come risulta da (5.1.1)), in virtù di un risultato
simile al Teorema 1.4 (si veda Saint Raymond [104]), per opportuni valori λ ∈ Λ il funzionale
ψ(·, λ) deve ammettere un minimo locale non globale; d’altra parte, (5.1.2) e le
altre ipotesi implicano l’esistenza di un minimo globale per lo stesso funzionale, e un’applicazione
del Teorema del passo di montagna (Teorema 3.14) permette a questo punto di
trovare un terzo punto critico per ψ(·, λ) (che differisce dal funzionale della tesi per una
costante).
Fermiamoci, per il momento, al passaggio dei due punti di minimo locale: applicando
un risultato di minimax più raffinato, come il Teorema 1.5, si può, sotto le medesime
ipotesi, provare una tesi più significativa, che asserisce l’esistenza di almeno due punti di
minimo locale per un funzionale che differisca da ψ(·, λ) per una piccola perturbazione;
questo è il senso del Teorema 1.6, stabilito da Ricceri in [98] (si veda anche [96]).
Se, inoltre, si fa ricorso a una versione del Teorema del passo di montagna più precisa, è
possibile individuare un terzo punto critico per il funzionale perturbato e stimare le norme
di tutti e tre i punti critici in modo uniforme, ossia indipendente dalla perturbazione: nel
campo dei problemi variazionali classici, risultati di questo tipo sono stati stabiliti da
Cammaroto, Chinnì e Di Bella in [19], [18], [20]; in [49], Faraci, Kupán, Varga e l’autore
della presente tesi hanno applicato questo nuovo metodo alle disequazioni emivariazionali
su dominî illimitati.
Questo Capitolo contiene alcuni contributi al metodo della diseguaglianza di minimax:
i risultati esposti sono in massima parte nuovi, ma generalizzano le idee di [49] al caso
delle disequazioni variazionali–emivariazionali; per ragioni tecniche, non abbiamo ritenuto
conveniente formulare un Teorema dei tre punti critici per funzionali di Motreanu–
Panagiotopoulos, preferendo stabilire in astratto solo l’esistenza dei due punti di minimo
locale e indagando la questione del terzo punto critico nelle applicazioni, caso per caso;
inevitabilmente, ciò comporterà alcune ripetizioni ma consentirà di adottare ipotesi e
tecniche ad ogni singola applicazione.