Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

100 Capitolo 8. Buona posizione e insiemi di Chebyshev
Congettura 8.5. Esistono uno spazio di Hilbert (X, ·), un sottoinsieme non vuoto
C di X e un numero reale t > 0 tali che, denotata K la chiusura convessa di C e definito
sono verificate le seguenti condizioni:
(8.5.1) Mt non è convesso;
Mt = {v ∈ X : d(v, C) ≥ t} ,
(8.5.2) PMt(u) è un singoletto per ogni u ∈ K.
La Congettura 8.5 è motivata come segue: supponendola vera, Mt sarebbe un insieme
di Chebyshev non convesso in X, in virtù del Teorema 8.3.
Alcune osservazioni sulla Congettura 8.5: ripensando al Teorema 2.12, si vede che, affinché
la Congettura 8.5 possa essere vera, occorre che l’insieme Mt non sia sequenzialmente
debolmente chiuso (ovvero, approssimativamente compatto); d’altra parte, dal Teorema
8.3 sappiamo che per ogni u ∈ X \ K e ogni successione {vn} in Mt minimizzante per u si
ha vn → u (8.3.2), quindi occorre che esistano almeno un punto ū ∈ K e una successione
{vn} in Mt minimizzante per ū che non converge a ū (si veda anche il Lemma 2.13).
In effetti, è alquanto facile scegliere i dati in modo che l’insieme Mt non sia convesso
né sequenzialmente debolmente chiuso: si pensi al caso in cui dim(X) = ∞ e C è un
singoletto, allora per ogni t > 0 l’insieme Mt è il complementare di una palla aperta di
raggio t.
Naturalmente, la difficoltà maggiore risiede nella condizione (8.5.2): questa appare
infatti molto difficile da verificare; tuttavia, se si ponesse tale difficoltà su un piatto della
bilancia, e sull’altro l’importanza del problema che sarebbe risolto qualora si provasse la
Congettura 8.5, riteniamo che quest’ultima prevarrebbe.