Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Soluzioni positive 43
Inoltre, esistano s1 > 0 e un insieme aperto Ω1 con m(Ω1) > 0, cl(Ω1) ⊂ Ω tali che
(5.8) F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ Ω, F (x, s1) > 0 per q.o. x ∈ Ω1.
Completano le ipotesi su F le seguenti condizioni di segno sugli elementi del gradiente,
verificate per un conveniente M > 0:
(5.9) ξ ≥ 0 (oppure ξ ≤ 0) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ≥ M, ξ ∈ ∂sF (x, s);
(5.10) ξ ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e ogni ξ ∈ ∂sF (x, 0).
Imponiamo alcune condizioni anche su G:
(5.11) |ξ| ≤ k(1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂sG(x, s);
(5.12) ξ ≥ 0 (oppure ξ ≤ 0) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ≥ M, ξ ∈ ∂sG(x, s);
(5.13) ξ ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e ogni ξ ∈ ∂sG(x, 0).
Sotto le precedenti ipotesi, siamo interessati alla ricerca delle soluzioni positive di
un’inclusione differenziale dipendente da due parametri λ, µ > 0:
(5.14)
⎧
⎨
⎩
−∆pu ∈ λ∂sF (x, u) + µ∂sG(x, u) in Ω
u ≥ 0 in Ω
u = 0 in ∂Ω
Applicando il Teorema 5.2 e il Teorema 3.17, stabiliremo per il problema (5.14) l’esistenza
di almeno due (o tre) soluzioni per opportuni λ, µ, e una stima uniforme delle
norme di tali soluzioni.
Come già ricordato (Sezione 4.2), un’inclusione differenziale con il vincolo di non–
negatività delle soluzioni è stata studiata da Kyritsi e Papageorgiou in [72].
Denotiamo X = W 1,p
0 (Ω) e ricordiamo che l’immersione X ↩→ L ν (Ω) è continua (con
costante cν > 0) per ogni ν ∈ [1, p ∗ ] e compatta per ogni ν ∈ [1, p ∗ [ (si veda il testo di
Evans [42], p. 272).
Poniamo
C = {u ∈ X : u(x) ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω} ,
osservando che C è un cono chiuso e convesso; definiamo, inoltre, la funzione indicatrice
χC al solito modo.
Introduciamo due funzionali ponendo per ogni u ∈ X
JF (u) = F (x, u(x))dx, JG(u) = G(x, u(x))dx.
Ω
Ω
.