Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

62 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Il dominio considerato è l’intervallo ]0, 1[, e sia a > 0; passiamo dunque a definire i potenziali
(in questo caso autonomi) come due funzioni F, G : R → R localmente lipschitziane
soddisfacenti alcune condizioni.
Per quanto riguarda F , assumiamo che esistano una funzione continua α : [0, +∞[→
[0, +∞[ e numeri reali h > 0, q ∈]1, 2[ tali che
(5.41) |ξ| ≤ α(|s|) per ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂F (s);
(5.42) F (s) ≤ h (1 + |s| q ) per ogni s ∈ R.
(5.43)
Esistano inoltre k0, k1 > 2a e ζ ∈]0, 1[ tali che
1
k0
k 02
0
F (s)ds = 1
(5.44) max
|s|≤ 1
2 [ζk2 0 +(1−ζ)k2 1 ] 1 F (s) <
2
2ζ
k02 k0 0
k1
k 12
0
F (s)ds;
2(1 − ζ)
F (s)ds +
k1
k 12
0
F (s)ds.
In merito a G, richiediamo che, per un’opportuna funzione continua β : [0, +∞[→
[0, +∞[, si abbia
(5.45) |ξ| ≤ β(|s|) per ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂G(s).
Osserviamo che in (5.41) e in (5.45) si può sempre supporre che α e β siano non–
decrescenti in [0, +∞[.
Nello spazio W 1,2
0 (]0, 1[) consideriamo l’insieme
C =
u ∈ W 1,2
0 (]0, 1[) : u(x) ≥ a per ogni x ∈
1 3
, ,
4 4
che risulta essere non vuoto, convesso e chiuso (in particolare, che C è chiuso segue dal
Lemma 4.6).
Studieremo la seguente disequazione variazionale–emivariazionale, dipendente dai parametri
λ, µ > 0: trovare u ∈ C tale che per ogni v ∈ C
(5.46)
1
0
u ′ (v ′ − u ′ ) + λF ◦ (u; u − v) + µG ◦ (u; u − v) dx ≥ 0
(dove abbiamo tralasciato per brevità la dipendenza di u e v da x).
Il risultato principale della Sezione assicura, sotto opportune restrizioni su λ e µ,
l’esistenza di due (o tre) soluzioni della disequazione (5.46) e una stima uniforme delle
loro norme.