Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazione con ostacolo 63
Come premesso, la disequazione (5.46) generalizza il problema dell’ostacolo, data la
natura dell’insieme C: un problema simile è stato studiato da Kyritsi e Papageorgiou in
[75] (ma in dimensione maggiore di uno).
Nello studio del problema (5.46) si può applicare lo schema generale descritto nella
Sezione 4.3: poniamo X = W 1,2
0 (]0, 1[) e per ogni u ∈ X
1
1
JF (u) ≤
0
F (u(x))dx, JG(u) ≤
0
F (u(x))dx.
Per il Lemma 4.7 i funzionali JF , JG : X → R sono localmente lipschitziani e verificano
per ogni u, v ∈ X
J ◦ 1
F (u; v) ≤ F
0
◦ (u(x); v(x))dx, J ◦ 1
G(u; v) ≤
0
G ◦ (u(x); v(x))dx.
Detta χC la funzione indicatrice di C, per ogni λ, µ > 0 il funzionale dell’energia
associato al problema (5.46) si definisce ponendo per ogni u ∈ X
Infatti:
Eλ,µ(u) = u2
2 − λJF (u) − µJG(u) + χC(u).
Lemma 5.19. Per ogni λ, µ > 0, Eλ,µ : X → R ∪ {+∞} è un funzionale di Motreanu–
Panagiotopoulos, e ogni suo punto critico è una soluzione di (5.46).
Dimostrazione. Rammentiamo quanto stabilito nella Sezione 4.3 e poniamo per ogni
s ∈ R
H(s) = λF (s) + µG(s);
chiaramente H soddisfa la condizione (4.9), mentre il problema (4.10) è equivalente al
nostro (5.46): quindi basta applicare il Lemma 4.8.
Anche in questo caso, preferiamo articolare il ragionamento in più tappe, introducendo
alcuni lemmi preliminari.
Lemma 5.20. Il funzionale JF : X → R è sequenzialmente debolmente continuo e per
ogni λ ≥ 0 si ha
u2 (5.20.1) lim
u→+∞ 2 − λJF
(u) = +∞.
Dimostrazione. Proviamo che JF è sequenzialmente debolmente continuo, ragionando
per assurdo: siano {vn} una successione in X debolmente convergente a v ∈ X e ε > 0
tale che per ogni n ∈ N
(5.47) |JF (vn) − JF (v)| ≥ ε.
Per il Lemma 4.6, esiste una sottosuccessione, che denotiamo ancora {vn}, tale che
vn − v∞ → 0: pertanto, per ogni x ∈]0, 1[ si ha
lim n [F (vn(x)) − F (v(x))] = 0;