Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 5
Teoremi di molteplicità per
problemi con due parametri
Questo Capitolo è dedicato alle conseguenze del Teorema 1.6 nello studio di problemi
variazionali: la natura eminentemente astratta di quel risultato ci consentirà di adattarlo,
di volta in volta, a contesti differenti, sempre nell’àmbito della teoria dei punti critici per
funzionali non differenziabili, ove lo applicheremo insieme al Teorema 3.17.
Ripercorriamo, seguendo l’articolo riassuntivo di Ricceri [101] (al quale rimandiamo il
lettore anche per ulteriori riferimenti bibliografici), la storia di questo metodo: il punto
di partenza è rappresentato dal seguente risultato di Ricceri, comparso in [94] (si vedano
anche [92], [93]) e noto come Teorema dei tre punti critici.
Teorema 5.1. Siano (X, · ) uno spazio di Banach riflessivo e separabile, Φ ∈
C 1 (X, R) un funzionale sequenzialmente debolmente s.c.i. tale che Φ ′ : X → X ∗ ammette
un inverso continuo, Ψ ∈ C 1 (X, R) un funzionale tale che Ψ ′ : X → X ∗ è compatto,
Λ ⊆ R un intervallo, δ ∈ R verificanti
(5.1.1) sup inf [Φ(u) + λ(δ − Ψ(u))] < inf
u∈X sup [Φ(u) + λ(δ − Ψ(u))];
λ∈Λ u∈X
λ∈Λ
(5.1.2) lim [Φ(u) − λΨ(u)] = +∞ per ogni λ ∈ Λ.
u→+∞
Allora, esistono λ0, λ1 ∈ Λ e σ1 > 0 tali che λ0 < λ1 e che per ogni λ ∈ [λ0, λ1] l’equazione
ammette almeno tre soluzioni in B(0, σ1).
Φ ′ (u) − λΨ ′ (u) = 0
Il Teorema 5.1 è un risultato di molteplicità per i punti critici di una certa classe di
funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata continua, che fornisce anche una stima
delle norme dei punti critici.
Su di esso si fonda il metodo della diseguaglianza di minimax, che nel corso degli anni
è stato applicato con successo a numerosi problemi variazionali classici: senza accampare
pretese di completezza, citiamo qui i lavori di Barletta e Livrea [7], Bonanno [10] e [11]
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