Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Sistemi non lineari 89
Teorema 7.12. Siano I, A, F come sopra. Allora, le seguenti condizioni sono verificate:
(7.12.1) l’insieme dei punti di biforcazione per l’insieme Σ è chiuso e non σ–compatto;
(7.12.2) per ogni v ∈ H 1 1
che non è un punto di biforcazione per l’insieme Σ, l’insieme
delle soluzioni del problema (7.7) è non vuoto e finito.
Dimostrazione. Proveremo (7.12.1) facendo ricorso al Teorema 7.4: tutte le ipotesi di
quel risultato sono verificate (in particolare, J è sequenzialmente debolmente continuo
perché J ′ è compatto).
Dunque gli insiemi ST e T (ST ) non sono σ–compatti: inoltre, si vede facilmente che
ST è chiuso, ergo anche T (ST ) è chiuso (Lemma 7.11).
Rimane da provare che T (ST ) coincide con l’insieme dei punti di biforcazione per Σ: a
tal fine osserviamo che per ogni v ∈ X si ha
(7.8) Σv = {u ∈ X : T (u + v) = v} ,
in quanto, per ogni u ∈ X, la condizione
equivale a
che a sua volta equivale a
1
0
T (u + v) = v
u + J ′ (u + v) = 0,
[ ˙u(x) · ˙w(x) + (A(x)u(x)) · w(x) + ∇F (x, u(x) + v(x)) · w(x)] dx = 0
per ogni w ∈ X, e questo vuol dire che (v, u) ∈ Σ.
Sia v ∈ T (ST ): per (7.8), esiste u ∈ Σv tale che u + v ∈ ST ; poiché u + v è
un punto
singolare per T , per ogni n ∈ N la restrizione di T alla palla aperta Bn := B u + v, 1
n
non è un omeomorfismo.
In effetti, T : Bn → T (Bn) non è una mappa iniettiva: infatti, se lo fosse, per il Teorema
7.8 sarebbe anche aperta, cioè un omeomorfismo, contro quanto appena acclarato.
Dunque, per ogni n ∈ N esistono w 1 n, w 2 n ∈ Bn, w 1 n = w 2 n, tali che T (w 1 n) = T (w 2 n) =: vn;
chiaramente
lim n w 1 n = lim n w 2 n = u + v, lim n vn = v,
così, posto u i n = w i n − vn (i = 1, 2), si ha
lim n u 1 n = lim n u 2 n = u
e pertanto v è un punto di biforcazione per Σ in base alla Definizione 7.1.