Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Sistemi non lineari 87
(7.10.1) esiste ρ ∈
inf J(u), sup J(u) tale che J
u∈X u∈X
ρ non è convesso;
(7.10.2) J(µu) = µ α J(u), J ′ (µu) = µ α−1 J ′ (u) per ogni µ > 0, u ∈ X.
Dimostrazione. Con metodi classici si dimostra che J ∈ C 1 (X, R) e che la sua derivata
secondo Gâteaux è un operatore J ′ : X → X (identificando X con il suo duale in virtù
del Teorema di Riesz) definito da
per ogni u, v ∈ X.
〈J ′ (u), v〉 =
1
0
∇F (x, u(x)) · v(x)dx
Proviamo che J ′ è compatto: sia {un} una successione limitata in X; per il Lemma
7.9 esistono una sottosuccessione, ancora denotata {un}, e una funzione u ∈ X tali che
un − u∞ → 0, e poiché per ogni n ∈ N
J ′ (un) − J ′ 1
(u) ≤ c
0
|∇F (x, un(x)) − ∇F (x, u(x))| dx,
ne segue che J ′ (un) → J ′ (u) per il Teorema di Lebesgue (si sfrutta (7.4)).
Per provare (7.10.1), si procede come segue: sia
M = max{|s1|, |s2|},
e sia δ > 0 tale che per ogni sottoinsieme misurabile Ω di I con m(Ω) < δ si abbia
b(x)dx < (σ2 − σ1)m(I0)
;
2 a(M)
Ω
senza perdita di generalità possiamo supporre che
I1 := inf(I0) − δ
3 , sup(I0) + δ
⊂]0, 1[,
3
sicché m(I1 \ I0) < δ.
Per i = 1, 2 si costruisce una funzione ui ∈ C ∞ ([0, 1], R N ) tale che ui∞ = |si| e
pertanto ui ∈ X, e si ricava
J(ui) =
si se x ∈ I0
ui(x) =
;
0 se x ∈ I \ I1
I0
F (x, si)dx +
≤ σ1m(I0) + a(M)
< (σ1 + σ2)m(I0)
.
2
I1\I0
I1\I0
F (x, ui(x))dx
b(x)dx