Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

52 Capitolo 5. Problemi con due parametri
su esso è altresì necessario imporre le seguenti condizioni, verificate per un opportuno
q ∈]1, 2[ e una funzione b ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) a valori quasi ovunque non negativi:
(5.26) F (x, s) ≤ b(x) (1 + |s| q ) per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R.
(5.27) esistano s1 ∈ R, R1 > 0 tali che F (x, s1) > 0 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, |x| < R1.
La funzione g, che nel problema in esame avrà il ruolo di una perturbazione, è soggetta
a vincoli più lievi:
(5.28) |g(x, s)| ≤ a(x) 1 + |s| r−1 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R.
(5.29) Dg =
x∈Ω\Ω0
Poniamo inoltre per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R
{s ∈ R : g(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
G(x, s) =
s
0
g(x, t)dt.
Definite le funzioni f−, f+, g−, g+ come nella Sezione 4.4, ipotizziamo infine che esse
siano sup–misurabili e verifichino, per ogni λ, µ > 0, la seguente condizione:
(5.30) λf(x, s) + µg(x, s) = 0 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ Df ∪ Dg tali che
λf−(x, s) + µg−(x, s) ≤ 0 ≤ λf+(x, s) + µg+(x, s).
Sotto le precedenti ipotesi, studieremo il seguente problema di Dirichlet con condizioni
al contorno omogenee, dipendente dai due parametri positivi λ, µ:
−∆u = λf(x, u) + µg(x, u) in Ω
(5.31)
u = 0 in ∂Ω .
In particolare, il risultato principale di questa Sezione assicura l’esistenza, per opportuni
λ, µ > 0, di due (o tre) soluzioni simmetriche di (5.31) e fornisce una stima uniforme
delle loro norme; rammentiamo che le soluzioni di (5.31) sono definite come nella Sezione
4.4.
Problemi del tipo (5.31) sono stati studiati da Chang in [22], da Marano e Motreanu
in [79], da Bonanno in [12] e da Kyritsi e Papageorgiou in [73].
Per fornire (5.31) di una conveniente formulazione variazionale, occorre svolgere alcune
considerazioni: in primo luogo, denotiamo Y lo spazio W 1,2
0 (Ω) dotato della norma
u =
|∇u(x)|
Ω
2 1
2
dx
Lemma 5.11. Y è uno spazio di Hilbert separabile e l’immersione Y ↩→ L ν (Ω) è
continua (con costante cν > 0) per ogni ν ∈ [2, 2 ∗ ].
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