Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Sistemi non lineari 85
Lemma 7.9. ([80], Chapter 1 passim) (H1 1 , · ) è uno spazio di Hilbert di dimensione
infinita, e l’immersione H1 1 ↩→ C0 (I, R) è compatta (con costante c > 0).
Sia G : I × R N → R N una funzione di Carathéodory; ci occuperemo di sistemi del tipo
seguente:
(7.2)
⎧
⎨
⎩
ü = A(x)u + G(x, u) in I
u(1) − u(0) = ˙u(1) − ˙u(0) = 0
Secondo la definizione corrente, una soluzione di (7.2) è una funzione u ∈ H1 1
per ogni v ∈ H1 1 si abbia
1
(7.3)
0
[ ˙u(x) · ˙v(x) + (A(x)u(x)) · v(x) + G(x, u(x)) · v(x)] dx = 0.
La precedente definizione è motivata dal ragionamento che segue: se u ∈ H1 1
sopra, si dimostra che in realtà u ∈ C1 (I, RN ) con derivata ˙u ∈ H1 1
tale che
è come
; ne segue che ˙u(1) =
˙u(0), e che ˙u ammette una derivata debole ü, che verifica per q.o. x ∈ I
(si veda [80], Section 1.4).
ü(x) = A(x)u(x) + G(x, u(x))
7.3 Biforcazione per sistemi non lineari
Nella presente Sezione studieremo un sistema del tipo (7.2) in cui la nonlinearità è rappresentata
dal gradiente di una funzione scalare, detta potenziale: questi sistemi sono chiamati
hamiltoniani e per essi si può formulare una teoria variazionale (alcuni autori riservano la
denominazione di “sistemi hamiltoniani” a un altro tipo di problemi, e chiamano questi,
invece, “sistemi gradienti”).
Siano I, A come nella Sezione 7.2, e sia F : I × RN → R una funzione tale che F (·, s)
è misurabile per ogni s ∈ RN e F (x, ·) ∈ C1 (RN , R) per q.o. x ∈ I; supponiamo inoltre
che esistano a ∈ C0 (R, R) e b ∈ L1 (I) non–negative tali che per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ RN
(7.4) max |F (x, s)| ,
∂F
(x, s)
∂si
: i = 1, . . . N ≤ a(|s|)b(x).
Inoltre, assumiamo che F non sia convessa rispetto alla seconda variabile, ovvero che
esistano un intervallo chiuso I0 ⊂]0, 1[, s1, s2 ∈ R N (s1 = s2), τ ∈]0, 1[ e σ1, σ2 ∈ R tali
che per q.o. x ∈ I0
(7.5) max {F (x, s1), F (x, s2)} ≤ σ1 < σ2 ≤ F (x, τs1 + (1 − τ)s2) .
Infine, supponiamo che F sia positivamente omogenea rispetto alla seconda variabile
con esponente α ∈]1, 2[, cioè che per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ R N
(7.6) F (x, µs) = µ α F (x, s).