Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

More documents

Recommendations

Info

vi in quanto, mentre la convessità ha senso solo in una struttura vettoriale, la connessione richiede solo una topologia. Fra i teoremi di minimax topologici, particolarmente interessanti si sono rivelati quelli formulati per il caso in cui l’insieme X è uno spazio topologico e l’insieme Y è un intervallo reale: in particolare, B. Ricceri ha studiato questo caso impiegando sottili tecniche di analisi multivoca (principalmente, un principio di alternativa per le multifunzioni) e stabilendo alcuni teoremi di minimax che richiedono ipotesi molto tenui sull’insieme X e sulla dipendenza di ψ dalla prima variabile. Non intendiamo addentrarci nei particolari tecnici, ma anticipiamo che le ipotesi di Ricceri riguardano essenzialmente i punti di minimo locale che la funzione ψ(·, y) (o una ad essa collegata) ammette in X, al variare di y nell’intervallo reale Y : questo stabilisce un collegamento fecondo fra la teoria del minimax e l’analisi funzionale non lineare. Difatti, è possibile applicare (di solito in maniera “inversa”, cioè supponendo che l’eguaglianza del minimax non sia verificata) questi teoremi di minimax per ottenere risultati di esistenza e di molteplicità per i punti di minimo locale di funzioni a valori reali definite su uno spazio topologico e dipendenti da un parametro reale; quando poi si scelga come X uno spazio di Banach e le funzioni in esame siano differenziabili secondo Gâteaux, ci si colloca nel contesto proprio della teoria dei punti critici per funzionali non lineari, e i risultati precedenti interagiscono in modo fruttuoso con il classico Teorema del passo di montagna di P. Pucci e J. Serrin, consentendo di provare teoremi di molteplicità per i punti critici di un funzionale dipendente da un parametro reale: un’applicazione molto distante da quelle usuali della teoria del minimax. Questo metodo è stato impiegato con successo da diversi autori, che hanno stabilito teoremi di molteplicità per le soluzioni di vari problemi legati alle equazioni differenziali non lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. Tuttavia, la generalità dei risultati astratti ne consente un uso più ampio, non necessariamente limitato ai funzionali differenziabili in senso classico: in particolare, S.A. Marano e D. Motreanu hanno applicato per primi il metodo sopra accennato nel campo dell’analisi non–smooth, estendendo il risultato di Ricceri a una più vasta classe di funzionali. A questo punto s’impone una breve digressione: come la teoria del minimax, anche l’analisi non–smooth è una branca complessa e stimolante della matematica pura, le cui origini sono però riconducibili alle scienze applicate, e precisamente alla meccanica e all’ingegneria. In generale, i problemi di equilibrio in meccanica classica conducono a disequazioni variazionali, che l’analisi convessa interpreta variazionalmente come la ricerca di punti critici per funzionali convessi, detti potenziali, definiti su opportuni spazi funzionali; tuttavia, accade di frequente nei fenomeni meccanici reali che, a causa di comportamenti non omogenei delle grandezze in giuoco (che si esprimono matematicamente con funzioni definite in modi diversi su aree diverse), non è sempre possibile definire un potenziale convesso. In tale contesto, si rende necessario il ricorso a una teoria più generale della derivazione, quale quella sviluppata da F.H. Clarke per i funzionali localmente lipschitziani: i problemi studiati da questa teoria, che generalizzano le disequazioni variazionali,
Introduzione vii sono noti in letteratura come disequazioni emivariazionali (senza vincoli) o disequazioni variazionali–emivariazionali (con vincoli), e sono stati introdotti da P.D. Panagiotopoulos. Per studiare queste disequazioni secondo un approccio variazionale, sono stati definiti i cosiddetti funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, per i quali è stata sviluppata una teoria generalizzata dei punti critici che combina aspetti della teoria di F.H. Clarke e della più tradizionale analisi convessa: tale teoria, benché piuttosto recente, ha già raggiunto una notevole estensione, che comprende versioni generalizzate di risultati classici dell’analisi non lineare come il già citato Teorema del passo di montagna e il Principio della criticità simmetrica di R.S. Palais. Un elemento di grande interesse, anche dal punto di vista astratto, delle disequazioni variazionali–emivariazionali risiede nel fatto che esse rappresentano uno “schema” molto generale, cui si possono ricondurre problemi variazionali di diversa natura, quali le equazioni differenziali ellittiche non lineari anche con nonlinearità fortemente discontinue (K.C. Chang), le inclusioni differenziali (S.Th. Kyritsi, N.S. Papageorgiou) e vari tipi di problemi al contorno. Per questa ragione è utile disporre di teoremi sui punti critici di funzionali di Motreanu– Panagiotopoulos: da essi si possono far discendere (talvolta, in verità, incontrando difficoltà tecniche considerevoli) risultati di esistenza e di molteplicità per le soluzioni che valgono simultaneamente per problemi all’apparenza molto diversi fra loro, come se la speculazione astratta cogliesse l’essenza comune di tali problemi. Tornando alla teoria del minimax, va ricordato che, in séguito, B. Ricceri ha migliorato il suo teorema, trasferendo le ipotesi di tipo variazionale dalla funzione ψ(·, y) a un’altra funzione che differisce da essa per una piccola perturbazione: questa nuova versione del risultato astratto permette di dedurre teoremi di molteplicità per i punti critici di un funzionale perturbato definito su uno spazio di Banach, dipendente da due parametri reali; usando in modo accorto il metodo del passo di montagna, è altresì possibile fornire una stima delle norme di tali punti critici uniforme (vale a dire, indipendente dalla perturbazione). Le conseguenze di questi teoremi di minimax nella teoria dei punti critici e numerose applicazioni a problemi differenziali sono state esplorate in una copiosa e interessante letteratura basata sul metodo della diseguaglianza di minimax, ad opera, oltre che dello stesso B. Ricceri, di G. Barletta, G. Bonanno, F. Cammaroto, P. Candito, A. Chinnì, G. Cordaro, B. Di Bella, A. Kristály, H. Lisei, R. Livrea, S.A. Marano, D. Motreanu, V. Rădulescu, J. Saint Raymond, Cs. Varga (fra gli altri). L’autore della presente tesi, in collaborazione con F. Faraci, P. Kupán e Cs. Varga, si è occupato della questione applicando il metodo a una classe di disequazioni emivariazionali su dominî illimitati. Qui ci si spingerà un po’ oltre, stabilendo, sulla base della nuova versione del teorema di minimax di B. Ricceri, l’esistenza di almeno due punti di minimo locale per una classe di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos perturbati; da tale risultato sarà possibile dedurre l’esistenza di due (o tre) soluzioni per alcuni problemi variazionali dipendenti da due parametri reali e coinvolgenti una perturbazione in qualche misura arbitraria, fornendo
Page 1: Coordinatore: Università degli Stu
Page 5: Introduzione Nihil certi habemus in
Page 9 and 10: Introduzione ix di sella (un tipo d
Page 11 and 12: Notazioni Introduciamo alcune notaz
Page 13 and 14: Indice Ringraziamenti iii Introduzi
Page 15 and 16: Capitolo 1 Teoremi di minimax La te
Page 17 and 18: Minimax e minimi locali 3 Teorema 1
Page 19 and 20: Punti di sella 5 Allora, esistono
Page 21 and 22: Capitolo 2 Alcuni richiami sugli sp
Page 23 and 24: Insiemi di Chebyshev 9 2.3 Gli insi
Page 25 and 26: Insiemi di Chebyshev 11 Dimostrazio
Page 27 and 28: Capitolo 3 Teoria dei punti critici
Page 29 and 30: Funzionali localmente lipschitziani
Page 31 and 32: Funzionali di Motreanu-Panagiotopou
Page 33 and 34: Il Teorema del passo di montagna 19
Page 35 and 36: Il Teorema del passo di montagna 21
Page 37 and 38: Il Principio della criticità simme
Page 39 and 40: Capitolo 4 Problemi variazionali: u
Page 41 and 42: Disequazioni emivariazionali 27 Lr
Page 43 and 44: Disequazioni variazionali-emivariaz
Page 45 and 46: Disequazioni variazionali-emivariaz
Page 47 and 48: Problemi al contorno 33 Proviamo or
Page 49 and 50: Problemi al contorno 35 Dimostrazio
Page 51 and 52: Capitolo 5 Teoremi di molteplicità
Page 53 and 54: Due minimi locali 39 La struttura d
Page 55 and 56: Due minimi locali 41 Inoltre, per o
Page 57 and 58:
Soluzioni positive 43 Inoltre, esis
Page 59 and 60:
Soluzioni positive 45 da cui JF (vn
Page 61 and 62:
Soluzioni positive 47 è s.c.s. (co
Page 63 and 64:
Soluzioni positive 49 Siano ora λ
Page 65 and 66:
Nonlinearità discontinue e simmetr
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Disequazione con ostacolo 61 e osse
Page 77 and 78:
Disequazione con ostacolo 63 Come p
Page 79 and 80:
Disequazione con ostacolo 65 Senza
Page 81 and 82:
Disequazione con ostacolo 67 si tro
Page 83 and 84:
Capitolo 6 Un teorema di molteplici
Page 85 and 86:
Il risultato generale 71 J(u) (6.2.
Page 87 and 88:
Un problema di Dirichlet 73 funzion
Page 89 and 90:
Un problema di Dirichlet 75 (6.8),
Page 91 and 92:
Un’inclusione differenziale 77 Es
Page 93 and 94:
Un’inclusione differenziale 79 M
Page 95 and 96:
Capitolo 7 Punti di biforcazione pe
Page 97 and 98:
Punti singolari 83 sotto opportune
Page 99 and 100:
Sistemi non lineari 85 Lemma 7.9. (
Page 101 and 102:
Sistemi non lineari 87 (7.10.1) esi
Page 103 and 104:
Sistemi non lineari 89 Teorema 7.12
Page 105 and 106:
Sistemi lineari 91 La scelta di for
Page 107 and 108:
Sistemi lineari 93 Allora esiste ν
Page 109 and 110:
Capitolo 8 Buona posizione e insiem
Page 111 and 112:
Buona posizione 97 Proviamo ora che
Page 113 and 114:
Insiemi di Chebyshev 99 allora, per
Page 115 and 116:
Bibliografia [1] R.A. Adams, Sobole
Page 117 and 118:
Bibliografia 103 [31] Z. Dályai, C
Page 119 and 120:
Bibliografia 105 [65] A. Kristály,
Page 121 and 122:
Bibliografia 107 [98] B. Ricceri, M
show all

Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?