Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Soluzioni positive 47
è s.c.s. (come inviluppo inferiore di funzioni continue) e verifica
ergo esiste ¯ λ ∈ Λ tale che
Dimostriamo che
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) = −∞,
u∈C
sup inf
λ∈Λ u∈C
ψ(u, λ) = inf
u∈C ψ(u, ¯ λ).
(5.19) inf
u∈C ψ(u, ¯ λ) < t,
distinguendo due casi:
• se ¯ λ < t
, si ricava
δ
• se ¯ λ ≥ t
, da (5.18) si ricava
δ
D’altra parte si ha
ψ(0, ¯ λ) = ¯ λδ < t;
ψ(w, ¯ λ) ≤ I(w) + t
(δ − J(w)) < t.
δ
(5.20) inf
u∈C sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Infatti, fissato u ∈ C, si possono ancora distinguere due casi:
• se J(u) < δ, si ricava
• se J(u) ≥ δ, per definizione di η si ricava
sup ψ(u, λ) = +∞;
λ∈Λ
sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Da (5.19) e (5.20) segue infine (5.8.1).
Introduciamo ora il risultato principale:
Teorema 5.9. Siano Ω, F come sopra. Allora, esistono λ0, λ1 > 0 e σ1, σ2 > 0 tali
che λ0 < λ1 e
(5.9.1) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[
il problema (5.14) ammette almeno due soluzioni in C ∩ B(0, σ1);