Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

70 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
tramite il Teorema 1.4, si deduce l’esistenza di ¯ λ > 0 tale che il funzionale
u ↦→
u − ū2
2
+ ¯ λ(J(u) − ρ)
ha almeno due minimi locali; quindi, applicando il Teorema del passo di montagna (Teorema
3.14), si trova un terzo punto critico, e tutti e tre sono soluzioni dell’equazione in
esame.
Il Teorema 6.1 trova un’immediata applicazione nel campo delle equazioni differenziali
semilineari, che rientrano nello schema rappresentato dall’equazione astratta: i due elementi
da cui questa dipende, ¯ λ e ū, sono visti rispettivamente come un autovalore e come
una perturbazione interna del problema.
Si è lavorato a lungo sugli sviluppi e sulle applicazioni di questo risultato di Ricceri:
in [46], Faraci e l’autore di questa tesi hanno applicato il Teorema 6.1 alle equazioni alle
differenze finite; in [45], gli stessi hanno esteso il Teorema 6.1 a una classe più ampia di
spazi di Banach, guadagnando un’applicazione a problemi al contorno (con condizioni sia
di Dirichlet che di Neumann) per equazioni quasilineari coinvolgenti il p–laplaciano su
dominî limitati; in [67], Kristály ha applicato il risultato a un’equazione di Schrödinger
su R N ; in [50], Faraci, Lisei, Varga e l’autore hanno esteso il risultato ai funzionali localmente
lipschitziani puntando a un’applicazione alle disequazioni emivariazionali su dominî
illimitati; infine, in [16], Breckner, Horváth e Varga hanno stabilito un risultato analogo
per i sistemi di disequazioni emivariazionali su dominî illimitati.
Si è così delineato un nuovo metodo, esposto nella sua forma più generale nell’articolo
[56] (pubblicato nel volume [9] curato da Blaga, Kristály e Varga), di cui il presente
Capitolo riprende più o meno i contenuti: riteniamo che il pregio maggiore del metodo in
questione sia la sua estrema generalità, in quanto l’ipotesi qualificante che J non sia quasi
convesso (6.1.1) è decisamente facile da verificare, mentre la condizione di crescita (6.1.2)
è molto comune nell’approccio variazionale; d’altra parte, la presenza di ciò che abbiamo
chiamato una perturbazione interna rende problematiche le applicazioni.
Il Capitolo ha la seguente struttura: dapprima dimostreremo il risultato generale (Sezione
6.1), quindi esporremo alcune applicazioni a un problema di Dirichlet con nonlinearità
discontinua (Sezione 6.2) e a un’inclusione differenziale su una striscia (Sezione
6.3)
6.1 Il risultato generale
Questa Sezione è dedicata al seguente risultato generale, che estende il Teorema 6.1:
Teorema 6.2. Siano (X, · ) uno spazio di Banach uniformemente convesso con
duale (X∗ , · ∗) strettamente convesso, S un sottoinsieme convesso, denso di X, p > 1
un numero reale, J : X → R un funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente
debolmente s.c.i. e verificante le seguenti condizioni:
(6.2.1) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u) tale che J
u∈X u∈X
ρ non è convesso;