Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

98 Capitolo 8. Buona posizione e insiemi di Chebyshev
A questo punto, (8.1) può essere migliorata in
(8.3) d(ū, C) = t
(in particolare, ū ∈ Mt); procediamo ancora per assurdo, assumendo d(ū, C) < t, il che
implica ¯ λ = 1, contro (8.2).
Osserviamo che ū è un punto di minimo globale per il funzionale I¯ λ ; inoltre, per (8.2),
I¯ λ è strettamente convesso, continuo e coercivo, sicché ū è in effetti l’unico punto di minimo
e ogni successione {un} in X, tale che I¯ λ (un) → I¯ λ (ū), converge debolmente a ū (si veda
[35], Example 8, p. 3).
Dimostreremo ora la tesi, articolata come segue:
• proviamo che PMt(u0) = {ū}, ovvero che per ogni v ∈ Mt, v = ū, si ha v − u0 >
ū − u0: difatti si ha I¯ λ (v) > I¯ λ (ū), che per (8.3) implica
v − u0 2 > ū − u0 2 + ¯ λ d 2 (v, C) − t 2 ≥ ū − u0 2 ;
• proviamo che ogni successione {vn} in Mt tale che vn − u0 → ū − u0 converge a
ū: infatti, per ogni n ∈ N si ha
I¯ λ (vn) ≤ vn − u0 2 − ¯ λt 2 ,
e il secondo membro tende a I¯ λ (ū), quindi {vn} converge debolmente a ū; inoltre, per
risultati classici, la convergenza debole implica in questo caso la convergenza forte.
Con ciò la dimostrazione è completa.
In particolare, la condizione “variazionale” (8.2.1) è verificata se il punto u0 non
appartiene alla chiusura convessa di C: questo caso è studiato nel prossimo risultato.
Teorema 8.3. Siano X e C come sopra, sia K la chiusura convessa di C, u0 ∈ X \ K.
Allora, per ogni t > 0, esiste ū ∈ Mt verificante le seguenti condizioni:
(8.3.1) PMt(u0) = ū;
(8.3.2) lim n vn = ū per ogni successione {vn} minimizzante per u0 in Mt.
Dimostrazione. Fissato t > 0, distinguiamo i due casi seguenti:
• se d(u0, C) ≥ t, si ha x0 ∈ Mt, e non vi è nulla da provare;
• se d(u0, C) < t, applichiamo il Teorema 8.2: a tal fine proviamo che
inf
u∈X I1(u) = −∞.
Difatti, poiché u0 /∈ K, possiamo avvalerci del Teorema di separazione nella sua
forma più forte, che assicura l’esistenza di ¯v ∈ X, ¯v = 0, e di un numero reale ε > 0
tali che per ogni u ∈ K
〈¯v, u〉 ≤ 〈¯v, u0〉 − ε;