Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Insiemi di Chebyshev 9
2.3 Gli insiemi di Chebyshev
In questa Sezione introdurremo i lineamenti fondamentali del celebre problema della convessità
degli insiemi di Chebyshev: si tratta di un problema studiato dalla teoria dell’approssimazione
metrica, che da decenni resiste agli sforzi dei ricercatori; per una trattazione
estesa di questo e altri temi legati alle proprietà metriche dei sottoinsiemi di spazi normati,
rimandiamo alle monografie redatte da Vlasov [115], da Balaganskĭ e Vlasov [6] e da
Cobza¸s [28], da cui traiamo la maggior parte dei contenuti della Sezione.
Benché l’argomento non rientri stricto sensu nella teoria dei punti critici o in quella
dei problemi variazionali, esso ha importanti collegamenti con i temi trattati in questa
tesi: nel Capitolo 6 dedurremo un teorema di molteplicità per le soluzioni di problemi
variazionali da una proprietà degli insiemi di Chebyshev, e nel Capitolo 8 avanzeremo una
congettura per la soluzione del problema della convessità di tali insiemi partendo proprio
da un’ipotesi di tipo variazionale.
Preliminarmente stabiliamo la seguente definizione:
Definizione 2.7. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, M un sottoinsieme non vuoto
di X e u ∈ X: la distanza di u da M è
d(u, M) = inf u − v;
v∈M
la proiezione metrica su M è una multifunzione PM : X → 2 M definita per ogni u ∈ X da
PM(u) = {v ∈ M : u − v = d(u, M)} .
È facile verificare che, se PM ha valori non vuoti, M è chiuso.
Introduciamo ora la nozione fondamentale di questa Sezione, individuando la classe
degli insiemi le cui proiezioni metriche sono ben definite come funzioni univoche:
Definizione 2.8. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, M un sottoinsieme non vuoto
di X: M è un insieme di Chebyshev se PM(u) è un singoletto per ogni u ∈ X.
L’idea di insieme di Chebyshev è più antica della sua definizione ufficiale: già nel XIX
Secolo, infatti, Chebyshev provò che, nello spazio C 0 ([0, 1], R), l’insieme dei polinomî di
grado minore o uguale a n è un insieme di Chebyshev per ogni n ∈ N (ovviamente non
con queste parole); tuttavia, una teoria sistematica di questi insiemi e delle loro proprietà
non appare fino a una serie di articoli composti da Efimov e Stečkin.
Chiaramente ogni insieme di Chebyshev è chiuso, mentre è più elusivo il rapporto di
questa proprietà con la convessità: in uno spazio sufficientemente regolare, un insieme
chiuso e convesso è un insieme di Chebyshev, come stabilisce il seguente basilare risultato.
Teorema 2.9. ([115], Theorem 0.6) Sia (X, · ) uno spazio di Banach. Le seguenti
condizioni sono equivalenti:
(2.9.1) X è riflessivo e strettamente convesso;
(2.9.2) ogni sottoinsieme chiuso e convesso di X è un insieme di Chebyshev.