Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Un problema di Dirichlet 73
funzionale Φλ (che differisce da ψ(·, λ) per una costante) avrebbe almeno tre punti critici,
contro l’ipotesi iniziale.
Possiamo applicare il Teorema 1.4 e ottenere l’eguaglianza di minimax seguente:
(6.1) sup inf ψ(u, λ) = inf
u∈X sup ψ(u, λ) =: α.
λ∈Λ u∈X
λ∈Λ
Poiché la funzione λ ↦→ inf ψ(u, λ) è s.c.s. e vale
u∈X
esiste ¯ λ ∈ Λ tale che
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) = −∞,
u∈X
α = inf
u∈X ψ(u, ¯ λ).
D’altra parte, un ragionamento analogo a quello svolto all’inizio della dimostrazione
permette di stabilire che
α = inf
u∈J −1 u − ū
(ρ)
p
p
(in particolare, α > 0); di conseguenza, (6.1) assume la forma seguente:
(6.2) inf
u∈X Φ¯ λ (u) = inf
J(u)=ρ Φ¯ λ (u).
A questo punto, vediamo che ¯ λ > 0 (altrimenti avremmo α = 0); inoltre, osserviamo
che v1, v2 sono punti di minimo globale per la restrizione di Φ¯ λ all’insieme J −1 (ρ), sicché,
per (6.2), punti di minimo globale per Φ¯ λ tout court: ancora dal Teorema 3.17, allora, Φ¯ λ
(che ovviamente soddisfa la condizione di Palais–Smale) ammette almeno tre punti critici,
contro l’ipotesi iniziale.
La contraddizione raggiunta prova l’asserto.
Due parole sulla condizione (6.2.3): essa è stata formulata in modo da adattare al contesto
generale dei funzionali localmente lipschitziani l’idea di compattezza della derivata
espressa dalla condizione (6.1.3), che nel risultato originario era usata per provare la condizione
di Palais–Smale; nelle applicazioni, come si vedrà nelle Sezioni 5.2 e 5.3, (6.2.3)
segue dalle immersioni compatte degli spazi di Sobolev in convenienti spazi di Lebesgue, e
osserviamo che (6.2.3) implica la più usuale condizione (S+) per la derivata generalizzata
di Φλ (si veda il teso di Motreanu e Panagiotopoulos [81]).
6.2 Un problema di Dirichlet con nonlinearità discontinua
In questa Sezione presentiamo, come applicazione del Teorema 6.2, un risultato di molteplicità
per le soluzioni di un problema di Dirichlet su un dominio limitato con nonlinearità
fortemente discontinua, del genere di quelli esaminati nella Sezione 4.4.
Siano Ω un dominio limitato in R N (N ∈ N, N > 2) con frontiera regolare ∂Ω,
f : Ω × R → R una funzione tale che f(·, s) è misurabile per ogni s ∈ R; siamo inoltre Ω0