Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Un’inclusione differenziale 77
Esempio 6.5. Siano Ω come sopra, r ∈]1, 2[ e f : R → R definita da
⎧
⎪⎨
−1 se s ≤ 0
f(s) = s
⎪⎩
r−1 n + 1
− se
n
1 1
≤ s < (n ∈ N, n > 1)
n n − 1
sr−1 .
− 1 se s ≥ 1
Questa nonlinearità soddisfa tutte le nostre ipotesi: la condizione (6.3) è banalmente
verificata per k = 2; la condizione (6.4) segue da
D =
1
n
: n ∈ N ;
per verificare la condizione (6.5) basta considerare il punto di discontinuità s = 1, e
osservare che f(1) = 0; la condizione (6.6) si prova rilevando che
di modo che esiste ¯s > 1 tale che
lim F (s) = +∞,
s→+∞
F (0) = 0 < 1 = min{F (−1), F (¯s)}.
Dunque, per il Teorema 6.3, esistono ¯ λ > 0 e ū ∈ C ∞ 0
ammette almeno tre soluzioni.
6.3 Un’inclusione differenziale su una striscia
(Ω) tali che il problema (6.7)
In questa Sezione applichiamo il Teorema 6.2 per stabilire un risultato di molteplicità per
un’inclusione differenziale su un dominio illimitato di tipo particolare: una striscia, vale a
dire un dominio dotato di una palese simmetria assiale, sul quale studieremo un problema
incentrato su un potenziale che presenta lo stesso tipo di simmetria.
Siano m, N ∈ N tali che N ≥ m + 2, ω ⊂ R m un dominio limitato con frontiera ∂ω
regolare tale che 0 ∈ ω, e Ω = ω × R N−m ; nel trattare problemi variazionali su dominî
illimitati, la mancanza di immersioni compatte degli spazi di Sobolev in opportuni spazi
di Lebesgue rappresenta un impedimento severo, che in casi particolari quale è quello in
esame può essere eluso tramite il ricorso ai gruppi di isometrie.
Denotiamo O(R N ) il gruppo delle isometrie lineari di R N e G il sottogruppo di O(R N )
formato dalle isometrie lineari che lasciano invariate le prime m coordinate (vale a dire G =
{idR m} × O(RN−m )): osserviamo che Ω è G–invariante; nel séguito, diremo simmetriche le
funzioni definite su Ω invarianti rispetto a G (geometricamente, si tratta di una simmetria
assiale o cilindrica).
Sia p ∈]1, N[; definiamo l’azione di G sullo spazio W 1,p (Ω) ponendo per ogni (g, u) ∈
G × W 1,p (Ω) e ogni x ∈ Ω
gu(x) = u(g −1 x).