Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

72 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
è la palla chiusa di centro ū e raggio (pρ0) 1
p , insieme debolmente
così l’insieme ψ(·, λ0) ρ0
compatto (qui ricordiamo che X è riflessivo in quanto è uniformemente convesso).
La verifica della condizione (1.4.3) è un poco più laboriosa: fissato λ > 0 (il caso λ = 0
è banale), da (6.2.2) traiamo facilmente
lim ψ(u, λ) = +∞;
u→+∞
il funzionale ψ(·, λ) è dunque coercivo, oltre che sequenzialmente debolmente s.c.i. in quan-
u − ūp
to somma di u ↦→ , convesso e continuo, e di u ↦→ λ(J(u) − ρ), sequenzialmente
p
debolmente s.c.i.; per il Teorema di Eberlein–Smulyan, ψ(·, λ) risulta debolmente s.c.i.
Per provare la seconda parte di (1.4.3), dobbiamo prima dimostrare che il funzionale
localmente lipschitziano ψ(·, λ) soddisfa la condizione di Palais–Smale (Definizione 3.15,
adattata al caso χ ≡ 0): siano dunque {un} una successione in X tale che {ψ(un, λ)} è
limitata e {εn} una successione infinitesima in ]0, +∞[ tale che per ogni n ∈ N, v ∈ X
ψ ◦ (un, λ; v − un) + εnv − un ≥ 0;
proviamo che {un} ha una sottosuccessione convergente.
Per la coercività di ψ(·, λ), {un} è limitata, quindi ha un’estratta, ancora denotata
{un}, che converge debolmente a un certo u ∈ X: fissato ε > 0, possiamo assumere
(applicando (6.2.3) e passando ancora a un’estratta) che
εnu − un < ε
4 , J ◦ (un; u − un) < ε
4λ , 〈A(u − ū), u − un〉 < ε
2 ,
ove denotiamo A la mappa di dualità indotta su X dalla funzione peso t ↦→ tp
(si veda la
p
Sezione 2.2).
Usando il Lemma 2.6, ricaviamo
che a sua volta implica
0 ≤ ψ ◦ (un, λ; u − un) + εnu − un
≤ 〈A(un − ū), u − un〉 + λJ ◦ (un; u − un) + εnu − un
< 〈A(un − ū), u − un〉 + ε
2 ,
ε > 〈A(un − ū) − A(u − ū), (un − ū) − (u − ū)〉
≥ un − ū p−1 − u − ū p−1 (un − ū − u − ū) .
Pertanto, un − ū tende a u − ū: ciò prova che {un} converge (fortemente) a u.
Dimostriamo ora la seconda parte di (1.4.3), per assurdo: supponiamo che ψ(·, λ) ammetta
un minimo locale non globale; essendo debolmente s.c.i. e coercivo, questo funzionale
ha anche un minimo globale, cioè ha due distinti punti di minimo locale; allora il Teorema
3.17 (sempre per χ ≡ 0) garantisce l’esistenza di un terzo punto critico, così che anche il