Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Problemi al contorno 33
Proviamo ora che JH è sequenzialmente debolmente continuo: sia {un} una successione
in X, debolmente convergente a u ∈ X; a meno di estratte, si può assumere che {un}
converga a u uniformemente su [0, 1], da cui JH(un) → JH(u).
Infine, (4.7.1) si prova come in [81] (Section 1.3 passim), il che conclude la dimostrazione.
Consideriamo la seguente disequazione variazionale–emivariazionale: trovare u ∈ C
tale che
1 ′ ′ ′ ◦
(4.10) u (x) v (x) − u (x) + H (u(x); u(x) − v(x)) dx ≥ 0 per ogni v ∈ C.
0
Il precedente problema si può studiare secondo i dettami del metodo variazionale
facendo uso del funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos Ψ definito ponendo per ogni
u ∈ X
Ψ(u) = u2
2 − JH(u) + χC(u),
come si evince dal seguente Lemma.
Lemma 4.8. Siano C e H come sopra. Allora, ogni punto critico del funzionale Ψ è
una soluzione di (4.10).
Dimostrazione. Basta rammentare la Definizione 3.10 e (4.7.1).
Nella Sezione 5.4 studieremo un problema dell’ostacolo sotto la specie di una disequazione
del tipo (4.10).
4.4 Problemi al contorno con nonlinearità discontinue
Una delle più diffuse applicazioni del calcolo differenziale per funzioni localmente lipschitziane,
descritta da Chang in [22], è l’elaborazione di un metodo variazionale generale per
problemi al contorno su equazioni alle derivate parziali con nonlinearità discontinue: in
questa Sezione, studieremo un problema di Dirichlet con condizioni al contorno omogenee
e nonlinearità fortemente discontinua, riconducendolo al caso esaminato nella Sezione 4.1;
adopereremo idee tratte dall’articolo [79] di Marano e Motreanu.
Siano N ∈ N (N > 2), Ω ⊂ R N un dominio con frontiera ∂Ω regolare, Ω0 un sottoinsieme
misurabile di Ω con misura nulla, h : Ω × R → R una funzione tale che h(·, s) è
misurabile per ogni s ∈ R e verificante le seguenti condizioni: siano a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω)
una funzione tale che a(x) ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e r > 1 tali che
(4.11) |h(x, s)| ≤ a(x)(1 + |s| r−1 ) per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R;
(4.12) D =
x∈Ω\Ω0
{s ∈ R : h(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
In particolare, h(x, ·) è localmente limitata, sicché si possono definire (quasi ovunque)
due funzioni ausiliarie h−, h+ : Ω × R → R ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
h−(x, s) = lim ess inf
δ→0 + |t−s|