Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

42 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Ergo, in ogni caso si ha
inf ψ(u, λ) < m;
u∈C
peraltro, la funzione λ ↦→ inf ψ(u, λ) è s.c.s. in Λ e
u∈C
esiste allora ¯ λ ∈ Λ tale che
Ne segue
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) ≤ lim
u∈C λ→+∞ ψ(w1, λ) = −∞;
sup inf
λ∈Λ u∈C
ψ(u, λ) = inf
u∈C ψ(u, ¯ λ).
(5.4) sup inf ψ(u, λ) < m.
λ∈Λ u∈C
D’altra parte, fissato u ∈ C, si incontra un altro bivio:
• se J(u) < δ, si ha sup ψ(u, λ) = +∞;
λ∈Λ
• se J(u) ≥ δ, si ha sup ψ(u, λ) = I(u).
λ∈Λ
Ne segue
(5.5) inf
u∈C sup ψ(u, λ) = m.
λ∈Λ
Da (5.4) e (5.5), infine, è dedotta (5.2.1).
Nelle Sezioni 5.2, 5.3 dimostreremo la diseguaglianza di minimax (5.2.1) direttamente,
mentre nella Sezione 5.4 faremo uso del Lemma 5.3.
5.2 Tre soluzioni positive per un’inclusione differenziale
In questa Sezione studieremo le soluzioni non–negative di un’inclusione differenziale, seguendo
il metodo delineato nella Sezione 4.2.
Siano N ∈ N (N > 1), Ω ⊂ R N un dominio limitato con frontiera ∂Ω regolare,
p ∈]1, N[; introduciamo F, G : Ω×R → R tali che le funzioni F (·, s), G(·, s) siano misurabili
per ogni s ∈ R e F (x, ·), G(x, ·) siano localmente lipschitziane per q.o. x ∈ Ω.
Siano, per opportuni k, h > 0, q ∈]1, p[, r ∈]p, p ∗ [, verificate le seguenti condizioni di
crescita su F e sugli elementi del suo gradiente:
(5.6) |ξ| ≤ k(|s| p−1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂sF (x, s);
(5.7) F (x, s) ≤ h(1 + |s| q ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R.