Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

80 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
ammette almeno tre punti critici.
Osserviamo che Φ è G–invariante: infatti, rammentando che l’azione di G su W 1,p (Ω) è
lineare e isometrica, che ū è una funzione simmetrica e che F (·, s) è anch’essa simmetrica
per ogni s ∈ R, si deduce che per ogni g ∈ G e ogni u ∈ W 1,p (Ω)
gu − ūp
Φ(gu) = −
p
¯
λ F (x, u(g
Ω
−1 x))dx
= g(u − ū)p
−
p
¯
λ F (g
Ω
−1 x, u(g −1 x))dx
= u − ūp
−
p
¯
λ F (y, u(y))dy = Φ (u).
Per il Teorema 3.20 (adattato al caso χ ≡ 0), il funzionale Φ ha tre punti critici: rimane
solo da constatare che, se u ∈ X è un punto critico di Φ, u − ū è una soluzione di (6.12),
e questo segue dal Lemma 4.3.
Possiamo concludere la dimostrazione stabilendo che (6.12) ammette almeno tre distinte
soluzioni simmetriche.
Presentiamo un esempio di problema del tipo (6.12) che si presta a essere risolto
mediante il Teorema 6.7: in esso appare un tipico potenziale localmente lipschitziano,
ottenuto “incollando” i grafici di funzioni con derivata continua.
Esempio 6.8. Si consideri la striscia Ω =]−1, 1[×R 2 , e si scelgano numeri reali 1 < r <
p < 3; sia poi a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) una funzione non–negativa e simmetrica e si definisca il
potenziale F ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
F (x, s) = a(x) (1 − ||s| r − 1|) .
Tutte le ipotesi del Teorema 6.7 sono soddisfatte: pertanto, per un’opportuna funzione
simmetrica ū ∈ C ∞ (Ω) e un opportuno ¯ λ > 0, l’inclusione differenziale (6.12) ammette
almeno tre soluzioni simmetriche.
Ω