Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Due minimi locali 39
La struttura del Capitolo è la seguente: dapprima stabiliremo una versione del Teorema
1.6 per una certa classe di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, corredata di un
Lemma tecnico finalizzato alle applicazioni (Sezione 5.1); quindi adopereremo il risultato
astratto, provando teoremi di molteplicità per le soluzioni di un’inclusione differenziale
con vincolo di positività (Sezione 5.2), di un problema di Dirichlet su una striscia con
nonlinearità discontinue e simmetriche (Sezione 5.3) e del problema dell’ostacolo su una
disequazione emivariazionale in dimensione uno (Sezione 5.4).
5.1 Due minimi locali per funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos perturbati
Il risultato principale della presente Sezione consiste in una riformulazione del Teorema 1.6:
sotto opportune ipotesi, potremo dimostrare l’esistenza di almeno due punti di minimo
locale per una classe di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos perturbati su spazi di
Banach rispetto alla topologia forte; tali punti, ricordiamo, sono punti critici (cui nelle
applicazioni si aggiungerà un terzo punto critico di natura imprecisata individuato col
metodo del passo di montagna).
Inoltre, il nostro risultato fornisce una stima a priori delle norme dei punti critici
ottenuti, che non dipende dalla perturbazione (sulla quale, peraltro, sono fatte ipotesi
molto blande).
Nel seguito, (X, · ) denota uno spazio di Banach riflessivo e separabile; I : X →
R un funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente s.c.i.; J : X →
R un funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente continuo; C un
sottoinsieme non vuoto, chiuso, convesso di X; χC : X → R∪{+∞} la funzione indicatrice
di C (definita come nella Sezione 3.2); δ un numero reale; si pone poi Λ = [0, +∞[, e si
definisce una funzione ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} ponendo per ogni (u, λ) ∈ X × Λ
ψ(u, λ) = I(u) + λ (δ − J(u)) + χC(u).
Nel presente contesto, il Teorema 1.6 si può riformulare come segue.
Teorema 5.2. Siano X, I, J, C, δ, Λ e ψ come sopra, e siano verificate le seguenti
condizioni:
(5.2.1) sup inf ψ(u, λ) < inf
u∈C sup ψ(u, λ);
λ∈Λ u∈C
λ∈Λ
(5.2.2) lim ψ(u, λ) = +∞ per ogni λ ∈ Λ.
u→+∞
Allora, esistono λ0, λ1 ∈ Λ e σ1 > 0 tali che λ0 < λ1 e che per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni
funzionale Φ : X → R localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente s.c.i., esiste
µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) ammette almeno due punti
di minimo locale giacenti in C ∩ B(0, σ1).