Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Introduzione ix
di sella (un tipo di risultati che appartiene, per legami diretti, alla specie dei teoremi di
minimax), B. Ricceri ha dimostrato un risultato di buona posizione per certi problemi
di minimizzazione per funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata lipschitziana
definiti su spazi di Hilbert.
La portata del metodo basato sui punti di sella, tuttavia, eccede i limiti della teoria classica
dell’ottimizzazione, per lambire un argomento, in apparenza, del tutto indipendente:
si apre qui una nuova, breve digressione.
Si è fatto cenno della teoria dell’approssimazione metrica: il più celebre problema studiato
da questa disciplina è certamente quello della convessità degli insiemi di Chebyshev,
vale dire di quei sottoinsiemi di uno spazio normato che possiedono, per ogni punto esterno,
esattamente un punto di miglior approssimazione (o proiezione metrica); tale problema,
oggetto di uno studio decennale inaugurato da N.V. Efimov e S.B. Stečkin e proseguito
soprattutto da numerosi matematici russi (anche il teorema di I.G. Tsar’kov citato sopra
si colloca lungo questa linea di ricerca), è tuttora insoluto, benché siano state individuate
alcune interessanti soluzioni parziali.
In particolare, attende risposta la seguente questione: esiste uno spazio di Hilbert di
dimensione infinita che contenga un insieme di Chebyshev non convesso?
Seguendo un metodo basato sui punti di sella simile a quello ideato da B. Ricceri (ma
studiando in questo caso funzionali non derivabili), F. Faraci e l’autore della presente tesi
hanno stabilito un teorema di buona posizione per il problema della miglior approssimazione
relativo a certi sottoinsiemi di uno spazio di Hilbert; tale risultato schiude una
prospettiva inedita sul problema sopra esposto, e in base a esso è motivata una congettura
intesa a risolvere il problema della convessità degli insiemi di Chebyshev in uno spazio di
Hilbert.
Come si vede, la teoria del minimax è posta al centro di una fitta rete che collega
fra loro, in modi talora inaspettati, aree differenti della matematica quali i metodi variazionali,
l’analisi non–smooth, i problemi differenziali, la teoria della biforcazione e quella
dell’approssimazione metrica; inoltre, tutte queste discipline, che nella presente tesi saranno
sempre considerate nell’ottica propria della matematica pura, hanno relazioni profonde
anche con le scienze applicate.
Pertanto, la natura multiforme dei risultati esposti in questo lavoro, negli auspici
dell’autore, può forse essere considerata un valore.
La tesi si articola in otto Capitoli, dei quali i primi quattro sono di natura generale e
introduttiva, mentre gli altri quattro contengono i risultati originali (talvolta inediti, più
spesso già pubblicati in diversi articoli):
• nel Capitolo 1 sono raccolti alcuni dei risultati classici della teoria del minimax,
insieme ai più recenti teoremi topologici di minimax dovuti a B. Ricceri;
• nel Capitolo 2 sono richiamate alcune utili nozioni sugli spazi di Banach ed è delineata
un’introduzione al problema della convessità degli insiemi di Chebyshev;