Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazione con ostacolo 67
si trova un numero reale σ2 > σ1 tale che per ogni t ≥ σ2
(5.49) ϑ(t) > R.
Proviamo ora (5.23.2): siano λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.23.2); allora esiste µ1 come in
(5.23.1), da cui ricaviamo
µ2 = min{µ1, ¯µ}.
Fissato µ ∈]0, µ2[, il funzionale Eλ,µ ammette almeno due punti di minimo locale
u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1); inoltre, applicando (4.6.1), (5.42) e l’ipotesi di crescita su G, si ha
per ogni u ∈ X
1
Eλ,µ(u) ≥ u2
− λh
2
(1 + |u(x)|
0
q )dx − µh (1 + |u(x)|
0
2 )dx
≥ u2
2 − λ1h (1 + u q ∞) − µh 1 + u 2 ≥
∞
u2
− λ1h 1 +
2 uq
2q
− µh 1 + u2
= ϑ(u),
4
di modo che Eλ,µ risulta coercivo (per (5.48)).
Dimostriamo ora che Eλ,µ soddisfa la condizione di Palais–Smale a qualunque quota
(Definizione 3.15): siano {vn} una successione in C tale che {Eλ,µ(vn)} è limitata e {εn}
una successione infinitesima di numeri reali positivi tale che per ogni n ∈ N, v ∈ C
1
0
v ′ n(x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx ≤ λJ ◦ F (vn; vn − v) + µJ ◦ G(vn; vn − v) + εnvn − v.
Poiché Eλ,µ è coercivo, {vn} è limitata: inoltre, passando a una sottosuccessione, possiamo
assumere che esista v ∈ C tale che {vn} converga a v debolmente in X e fortemente
in C 0 ([0, 1]) (Lemma 4.6); inoltre supponiamo che vn − v ≤ K, vn∞ ≤ H per ogni
n ∈ N (per opportuni H, K > 0): si ha allora
1
0
v ′ n(x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx ≤ λα(H)vn − v∞ + µβ(H)vn − v∞ + εnK
per ogni n ∈ N, da cui
lim sup
n
1
mentre per convergenza debole si ha
Dunque
lim n
1
0
0
1
v ′ n(x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx ≤ 0,
v ′ (x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx = 0.
lim sup vn − v
n
2 ≤ 0,