Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

40 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Dimostrazione. Applicheremo il Teorema 1.6 denotando τ la topologia debole su X,
ponendo Λ1 =]0, +∞[ e scegliendo ρ0 ∈ R verificante
sup inf
u∈C ψ(u, λ) < ρ0 < inf
u∈C sup ψ(u, λ).
λ∈Λ
Tutte le ipotesi del Teorema 1.6 sono soddisfatte: in primo luogo osserviamo che ψ(u, ·)
è una funzione affine (in particolare, continua) per ogni u ∈ X.
La condizione (1.6.1) è verificata in quanto equivale a (5.2.1), come si vede facilmente.
La condizione (1.6.2) è verificata per quanto osservato sopra in merito alla funzione
ψ(u, ·).
La condizione (1.6.3) è verificata in quanto, per ogni λ ∈ Λ1, il funzionale ψ(·, λ)
è proprio, sequenzialmente debolmente s.c.i. e coercivo (5.2.2), sicché per ogni ρ < ρ0
l’insieme ψ(·, λ) ρ risulta limitato e sequenzialmente debolmente chiuso: pertanto, per il
Teorema di Eberlein–Smulyan, ψ(·, λ) ρ è (sequenzialmente) debolmente compatto.
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ come nel Teorema 1.6, e sia definito l’insieme
S =
ψ(·, λ) ρ0 .
Si ha
λ∈[λ0,λ1]
λ∈Λ
S = ψ(·, λ0) ρ0 ∪ ψ(·, λ1) ρ0 ;
infatti, per ogni u ∈ S esiste λ ∈ [λ0, λ1] tale che ψ(u, λ) < ρ0 e si possono distinguere due
casi:
• se J(u) ≤ δ, si ha ψ(u, λ0) ≤ ψ(u, λ) < ρ0;
• se J(u) > δ, si ha ψ(u, λ1) ≤ ψ(u, λ) < ρ0.
In particolare, poiché gli insiemi ψ(·, λ0) ρ0 , ψ(·, λ1) ρ0 sono limitati, esiste σ1 > 0 tale
che
(5.1) S ⊆ B(0, σ1)
(questo procedimento è stato introdotto da Anello in [4]).
Siamo ora in una posizione propizia per provare la nostra tesi: siano λ ∈ [λ0, λ1], Φ un
funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente s.c.i. e sia µ0 > 0 scelto
ad arbitrio.
La condizione (1.6.4) è verificata in quanto Φ è sequenzialmente debolmente s.c.i. e
ψ(·, λ) ρ0
è sequenzialmente debolmente compatto.
La condizione (1.6.5) è verificata in quanto, per ogni µ ∈]0, µ0[, ψ(·, λ)+µΦ(·) è somma
di due funzionali sequenzialmente debolmente s.c.i.
Per il Teorema 1.6, esiste µ1 > 0 tale che, per ogni µ ∈]0, µ1[, esistono u0, u1 ∈ ψ(·, λ) ρ0
(u0 = u1) punti di minimo locale per ψ(·, λ) + µΦ(·) rispetto alla topologia τ ψ(·,λ): da (5.1)
segue che
u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1).