Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

86 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Notiamo che in (7.4) si può scegliere, senza perdita di generalità, a crescente, mentre
da (7.6) segue che F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ I.
(7.7)
Data una funzione v ∈ H1 1 , studieremo il seguente sistema hamiltoniano:
⎧
⎨
⎩
ü = A(x)u + ∇F (x, u + v(x)) in I
u(1) − u(0) = ˙u(1) − ˙u(0) = 0
Qui v è considerata un parametro del problema, e ci interesseremo in particolare a
quelle funzioni v che sono punti di biforcazione per l’insieme
Σ := (v, u) ∈ H 1 1 × H 1 1 : u è soluzione di (7.7) ;
servendoci del Teorema 7.4, proveremo che l’insieme di tali punti di biforcazione non è σ–
compatto, e che, ogni volta che si scelga una funzione v che non è un punto di biforcazione
per Σ, il problema (7.7) da essa indotto ammette un numero finito di soluzioni.
Il nostro approccio è fondato sulla riscrittura di (7.7) nella forma di un’equazione in
H1 1 coinvolgente un certo operatore non lineare T : come si vedrà, i punti di biforcazione
per Σ coincidono coi valori singolari di T ; questa identificazione fra punti di biforcazione
di un problema e valori singolari di un operatore è già stata impiegata da ˇ Durikovič e
ˇDurikovičová in [37], nello studio di una singola equazione differenziale.
Né è nuova l’ipotesi di positiva omogeneità espressa dalla condizione (7.6): per esempio,
Ben–Naoum, Troestler e Willem hanno provato in [8] l’esistenza di una soluzione
non costante per un sistema hamiltoniano con un potenziale positivamente omogeneo di
esponente α > 1, α = 2.
La nostra scelta pone F nella classe dei potenziali sub–quadratici: vi sono diversi
risultati relativi a sistemi hamiltoniani con siffatti potenziali, fra i quali ricordiamo quello
stabilito da Tang e Wu in [112] (per un sistema con una matrice A non necessariamente
definita positiva); un risultato di molteplicità per sistemi con potenziale quadratico è stato
invece provato, usando metodi topologici, da Faraci e dall’autore della presente tesi in [44].
Una diversa condizione asintotica compare invece nel teorema di molteplicità per sistemi
hamiltoniani stabilito da Faraci in [43] (che contiene anche una disamina su alcuni
teoremi classici sui sistemi); rammentiamo anche il lavoro di Faraci e Livrea [51], ove è presentato
un risultato di biforcazione per sistemi hamiltoniani dipendenti da un parametro
reale.
Per preparare il terreno, denotiamo X = H 1 1
J ponendo per ogni u ∈ X
J(u) =
1
0
e definiamo su questo spazio un funzionale
F (x, u(x))dx.
Di séguito studiamo il funzionale J e la sua derivata:
Lemma 7.10. Siano X, J come sopra. Allora, J ∈ C 1 (X, R) e J ′ : X → X è un
operatore compatto; inoltre, sono verificate le seguenti condizioni: