Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Punti singolari 83
sotto opportune ipotesi, tale insieme ha misura nulla (si veda [105]); Smale ha in un certo
senso esteso questo risultato al caso di spazi di dimensione infinita, provando in [108] che
i punti singolari di una certa classe di operatori formano insiemi di prima categoria (nel
senso di Baire); altri importanti risultati di struttura per l’insieme dei punti singolari di
un operatore non lineare sono quelli di Plastock [87] e di Sadyrkhanov [103].
In [100], Ricceri ha individuato per la prima volta una classe generale di operatori
potenziali fra spazi di Hilbert che hanno insiemi di punti (e di valori) singolari non σ–
compatti, servendosi di ipotesi di non–quasi–convessità e, indirettamente, della teoria del
minimax (come nel Teorema 6.1), sotto una ulteriore condizione di positiva omogeneità:
di séguito richiamiamo il risultato principale.
Teorema 7.4. ([100], Theorem 1) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert con dim(X) =
∞, J ∈ C 1 (X, R) un funzionale verificante le seguenti condizioni:
(7.4.1) J è sequenzialmente debolmente s.c.i.;
(7.4.2) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u)
u∈X u∈X
tale che J ρ non è convesso;
(7.4.3) esiste α ∈]1, 2[ tale che J(µu) = µ α J(u) per ogni µ > 0, u ∈ X.
Inoltre, l’operatore T : X → X definito per ogni u ∈ X da
T (u) = u + J ′ (u)
sia chiuso. Allora, gli insiemi ST e T (ST ) non sono σ–compatti.
Nel seguente risultato, anch’esso dovuto a Ricceri, la positiva omogeneità del funzionale
espressa dalla condizione (7.4.3) è rimpiazzata dalla comparsa di un parametro reale, e la
tesi è decisamente più tecnica.
Teorema 7.5. ([100], Theorem 3) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert con dim(X) ≥
3, J ∈ C 2 (X, R) un funzionale verificante le seguenti condizioni:
(7.5.1) J ′ : X → X è compatto;
(7.5.2) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u)
u∈X u∈X
tale che J ρ non è convesso;
J(u)
(7.5.3) lim inf ≥ 0.
u→+∞ u2 Inoltre, per ogni λ > 0 sia definito l’operatore Tλ : X → X ponendo per ogni u ∈ X
e sia verificata
(7.5.4) lim
u→+∞ Tλ(u) = +∞.
Tλ(u) = u + λJ ′ (u),