Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Il Teorema del passo di montagna 19
Dimostrazione. Proviamo che (3.13.1) implica (3.13.2), procedendo per assurdo: supponiamo
che mΨ(u) = k > 0 (tale quantità infatti non è mai negativa).
Per il Lemma 3.12, esiste v ∈ C ∩ B(u, 1) tale che
da cui si deduce con un rapido calcolo che
contro (3.13.1).
inf
u∗∈∂Φ(u) 〈u∗ , u − v〉 > k
2 ,
Φ ◦ (u; v − u) ≤ − k
2
Proviamo ora che (3.13.2) implica (3.13.1), procedendo ancora per assurdo: supponiamo
che esista w ∈ C tale che
donde segue w = u; poniamo
ricavandone che ¯v ∈ C ∩ B(u, 1).
da cui
Per ogni u ∗ ∈ ∂Φ(u) si ha
contro (3.13.2).
< 0,
Φ ◦ (u; w − u) = −k < 0,
¯v = u +
1
(w − u),
2w − u
sup 〈u
v∈C∩B(u,1)
∗ , u − v〉 ≥ 〈u ∗ , u − ¯v〉 ≥
mΨ(u) ≥
k
> 0,
2w − u
k
2w − u ,
Così la tesi è acquisita.
In virtù del Lemma 3.13, si può parlare a cuor leggero di punti critici per un funzionale
del tipo Ψ = Φ + χC (Φ localmente lipschitziano, C ⊆ X non vuoto, chiuso e convesso).
La dimostrazione del Lemma 3.13 è nuova, e riteniamo che rappresenti una piccola,
ma originale applicazione della teoria classica del minimax; vogliamo però osservare che,
in generale, definizioni anche significative di punto critico possono benissimo non essere
equivalenti fra loro (si veda [82], Chapter 2).
3.3 Il Teorema del passo di montagna
Il Teorema del passo di montagna ha avuto, nello sviluppo dell’analisi non lineare e dei
metodi variazionali, un ruolo cruciale: esso fornisce lo strumento più naturale per l’individuazione
di punti critici di un funzionale che non rappresentino necessariamente dei punti