Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

58 Capitolo 5. Problemi con due parametri
D’altra parte si ha
(5.37) inf
u∈X sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Infatti, fissato u ∈ X, si possono ancora distinguere due casi:
• se J(u) < δ, si ricava
• se J(u) ≥ δ, per definizione di η si ricava
sup ψ(u, λ) = +∞;
λ∈Λ
sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Da (5.36) e (5.37) segue infine (5.16.1).
Il risultato principale della presente Sezione è il seguente.
Teorema 5.17. Siano Ω, f come sopra. Allora, esistono λ0, λ1 > 0 e σ1, σ2 > 0 tali
che λ0 < λ1 e
(5.17.1) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni g come sopra, esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[
il problema (5.31) ammette almeno due soluzioni simmetriche in B(0, σ1);
(5.17.2) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni g come sopra, verificante anche
G(x, s) ≤ b(x)(1 + |s| 2 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.31) ammette almeno tre
soluzioni simmetriche in B(0, σ2)
Dimostrazione. Le ipotesi del Teorema 5.2 (con C = X) sono tutte soddisfatte nel
presente contesto: X è uno spazio di Hilbert separabile (come sottospazio di Y e per
il Lemma 5.11); il funzionale I è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente
s.c.i. (in quanto è convesso); J è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente
continuo (Lemma 5.14); scelto δ come nel Lemma 5.16, le condizioni (5.2.1) e (5.2.2) sono
verificate (Lemmi 5.14, 5.16).
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ e σ1 > 0 come nel Teorema 5.2 (possiamo assumere λ0 > 0).
Siano λ, g come in (5.17.1): posto per ogni u ∈ X
Φ(u) = −JG(u),
si prova (ragionando come nel Lemma 5.14) che Φ : X → R è localmente lipschitziano e
sequenzialmente debolmente continuo: pertanto esiste µ1 > 0 tale che, per ogni µ ∈]0, µ1[,
vi sono due punti u0, u1 ∈ X di minimo locale per il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·), tali che
u0 = u1 e u0, u1 < σ1.