Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Il risultato generale 71
J(u)
(6.2.2) lim inf ≥ 0;
u→+∞ up (6.2.3) per ogni successione {un} in X, debolmente convergente a u ∈ X, esiste una
sottosuccessione {unk } tale che lim sup J(unk ; u − unk ) ≤ 0.
k→∞
Allora esistono ū ∈ S, ¯ λ > 0 tali che il funzionale
u ↦→
ammette almeno tre punti critici in X.
u − ūp
p
+ ¯ λJ(u)
Dimostrazione. L’insieme J ρ non è convesso; inoltre, poiché J è sequenzialmente debolmente
s.c.i., esso è sequenzialmente debolmente chiuso: per il Teorema 2.14, esistono
ū ∈ S e due punti v1, v2 ∈ J ρ (v1 = v2) tali che
v1 − ū = v2 − ū = inf v − ū.
ρ
v∈J
Ovviamente, si ha J(ū) > ρ; inoltre, J(vi) = ρ (i = 1, 2), come si vede facilmente
per assurdo: per esempio, se si avesse J(v1) < ρ, esisterebbe w = τū + (1 − τ)v1, per un
conveniente τ ∈]0, 1[, tale che J(w) = ρ; ne seguirebbe
una contraddizione.
w − ū = τv1 − ū < inf v − ū,
ρ
v∈J
Siamo ora in grado di provare l’asserto, e lo faremo procedendo per assurdo: per ogni
λ > 0, sia Φλ : X → R definito ponendo per ogni u ∈ X
Φλ(u) =
u − ūp
p
+ λJ(u)
(un funzionale localmente lipschitziano in forza del Lemma 3.4), e supponiamo che esso
ammetta al più due punti critici in X.
Adottando su X la topologia debole e denotando Λ = [0, +∞[, applicheremo il Teorema
1.4 alla funzione ψ definita da
ψ(u, λ) =
u − ūp
p
+ λ (J(u) − ρ) .
Naturalmente, occorre controllare le ipotesi di quel teorema di minimax: la condizione
(1.4.1) è ovviamente verificata, in quanto ψ(u, ·) è una funzione affine per ogni u ∈ X.
Per vagliare la condizione (1.4.2), fissiamo un vettore u0 ∈ Jρ, λ0 = 0 e un numero
reale
ρ0 > u0 − ūp ;
p