Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

92 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Infine, supponiamo che F verifichi la seguente condizione di crescita:
|∇F (x, s)|
(7.11) lim ess sup
= 0.
|s|→+∞ x∈I |s|
(7.12)
Come nella Sezione 7.3, in (7.9) si può scegliere, senza perdita di generalità, a crescente.
Dati un numero reale λ > 0 e una funzione v ∈ H1 1 , studieremo il seguente sistema:
⎧
⎨
⎩
ü = A(x)u + λHF (x, v(x))u in I
u(1) − u(0) = ˙u(1) − ˙u(0) = 0
Denotando X = H1 1 , definiamo il funzionale J come nella Sezione 7.3.
Lemma 7.14. Siano X, J come sopra. Allora, J ∈ C2 (X, R), J ′ : X → X è un
operatore compatto e J ′′ (u) è un operatore lineare compatto e auto–aggiunto per ogni
u ∈ X; inoltre, sono verificate le seguenti condizioni:
(7.14.1) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u)
u∈X u∈X
tale che J ρ non è convesso;
J
(7.14.2) lim
u→+∞
′ (u)
= 0;
u
J(u)
(7.14.3) lim = 0.
u→+∞ u2 Dimostrazione. Procedendo come nel Lemma 7.10, si dimostra che J ∈ C 2 (X, R), che
J ′ è compatto e che vale (7.14.1) (si noti che in questo caso si è assunto esplicitamente
che F (·, 0) ≡ 0); la derivata seconda di J si identifica per ogni u ∈ X con un operatore
J ′′ (u) ∈ L(X, X) tale che per ogni v, w ∈ X
〈J ′′ (u)(v), w〉 =
1
0
(HF (x, u(x))v(x)) · w(x)dx.
Dimostriamo ora che, per ogni u ∈ X, J ′′ (u) è un operatore compatto: sia {vn} una successione
in X con vn ≤ M per ogni n ∈ N (M > 0); intendiamo provare che {J ′′ (u)(vn)}
ha un’estratta convergente.
Fissato ε > 0, esiste δ > 0 tale che
J ′ (u + v) − J ′ (u) − J ′′ (u)(v)
v
per ogni v ∈ X con v < δ; scelto µ ∈
0, δ
M
< ε
3M
, la successione {u + µvn} è limitata:
giacché J ′ è compatto, troviamo una sottosuccessione, denotata ancora {vn}, tale che
{J ′ (u + µvn)} converge in X, quindi in particolare è una successione di Cauchy.