Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

46 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Per semplificare le cose, introduciamo a questo punto una notazione che ricalca quella
della Sezione 5.1: per ogni u ∈ X poniamo
inoltre, denotiamo Λ = [0, +∞[.
I(u) = up
p , J(u) = JF (u);
Lemma 5.8. Esiste δ > 0 tale che, definita ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} come nella Sezione
5.1, si ha
(5.8.1) sup inf ψ(u, λ) < inf
u∈C sup ψ(u, λ).
λ∈Λ u∈C
λ∈Λ
Dimostrazione. Per ogni t > 0 poniamo
η(t) = sup
u∈C∩I t
J(u),
osservando che η(t) ≥ 0 per ogni t > 0; proveremo che
(5.17) lim
t→0 +
η(t)
= 0.
t
A tal fine, sia ε > 0: per (5.6) esiste kε > 0 tale che per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
ξ ∈ ∂sF (x, s)
|ξ| ≤ ε|s| p−1 + kε|s| r−1 ,
da cui, usando il solito Teorema 3.7, per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R si ottiene
|F (x, s)| ≤ ε|s| p + kε|s| r .
Da quanto sopra ricaviamo che per ogni u ∈ X
da cui per ogni t > 0
che a sua volta implica (5.17).
J(u) ≤ εc p pu p + kεc r ru r ,
η(t) ≤ εc p p(pt) + kεc r r(pt) r
p ,
Richiamando il Lemma 5.7, determiniamo t ∈]0, I(w)[ e δ ∈ R tali che
(5.18) η(t) < δ < tJ(w)
I(w) ,
sicché in particolare J(w) > δ.
Possiamo ora provare la diseguaglianza (5.8.1): in primo luogo, osserviamo che la
funzione
λ ↦→ inf ψ(u, λ)
u∈C