Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Buona posizione 97
Proviamo ora che
τ > d(u0, C),
osservando dapprima che ovviamente τ ≥ d(u0, C); inoltre, se fosse τ = d(u0, C), per ogni
u ∈ B(u0, ρ) avremmo
I1(u) = u − u0 2 − d 2 (u, C) ≥ −d 2 (u0, C) = I1(u0),
il che farebbe di u0 un punto di minimo di I1, contro l’ipotesi (8.2.1).
Sia ora t ∈]d(u0, C), τ[, scelto ad arbitrio.
Proviamo che d(u0, Mt) ∈]0, ρ[: difatti, d(u0, Mt) > 0 discende da u0 /∈ Mt (rammentiamo
che Mt è chiuso); d’altra parte, d(u0, Mt) < ρ in quanto, avendosi t < τ, deve esistere
u ∈ B(u0, ρ) ∩ Mt, così che
d(u0, Mt) ≤ u0 − u < ρ.
Applicheremo il Teorema 1.8, ponendo Λ = [0, 1] e per ogni (u, λ) ∈ X × Λ
ψ(u, λ) = u − u0 2 + λ t 2 − d 2 (u, C) ;
le ipotesi del Teorema 1.8 sono soddisfatte (con λ0 ∈ [0, 1[ arbitrario in (1.8.3)), ergo esiste
una coppia (ū, ¯ λ) ∈ X × Λ verificante
ū − u0 2 + ¯ λ t 2 − d 2 (ū, C)
= inf u − u0
u∈X
2 − ¯ λd 2 (u, C) + ¯ λt 2
= ū − u0 2 + sup
λ∈Λ
λ t 2 − d 2 (ū, C) .
La precedente eguaglianza ci fornisce molte informazioni su ū e ¯ λ: in primo luogo,
osserviamo che
(8.1) d(ū, C) ≤ t.
Ragionando per assurdo, supponiamo che d(ū, C) > t: ne segue ¯ λ = 0, che a sua volta
implica ū = u0 cioè d(ū, C) < t, una contraddizione.
(8.2)
Proviamo ora che
¯ λ < 1.
Infatti, si supponga ¯ λ = 1: ne segue ū ∈ Q, da cui ū − u0 ≥ ρ; questo, insieme a
(8.1), rende
I1(ū) ≥ ρ 2 − t 2 .
Poiché t < τ, esiste v ∈ B(u0, ρ) tale che d(v, C) > t e così
il che è incompatibile col fatto che ū ∈ Q.
I1(v) < ρ 2 − t 2 ,