Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos 17
Se, nella Definizione 3.9, si suppone Φ ∈ C 1 (X, R), si rientra nel caso studiato da
Szulkin in [111]: in quel lavoro, si definisce un punto critico di Ψ come un punto u ∈ X
tale che per ogni v ∈ X si abbia
〈Φ ′ (u), v − u〉 + χ(v) − χ(u) ≥ 0
(notiamo che in tal caso deve aversi u ∈ dom(χ)).
In analogia con questa nozione, introduciamo la seguente Definizione:
Definizione 3.10. Siano X, Ψ come nella Definizione 3.9, u ∈ X: u è un punto critico
secondo Szulkin di Ψ se verifica la condizione
(3.10.1) Φ ◦ (u; v − u) + χ(v) − χ(u) ≥ 0 per ogni v ∈ X.
Tutte le applicazioni che presenteremo rientrano nel seguente caso particolare: siano C
un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X, e sia χC : X → R ∪ {+∞} la funzione
indicatrice di C, definita per ogni u ∈ X da
χC(u) =
0 se u ∈ C
+∞ se u /∈ C .
Come si verifica facilmente, χC è un funzionale proprio, convesso, s.c.i. e continuo sul
suo dominio (che è C).
Sia ora Φ : X → R un funzionale localmente lipschitziano; secondo una denominazione
introdotta da Panagiotopoulos, chiamiamo disequazione variazionale–emivariazionale
(astratta) il seguente problema: trovare u ∈ C tale che
(3.1) Φ ◦ (u; v − u) ≥ 0 per ogni v ∈ C.
Si tratta di un problema variazionale molto generale: basti osservare che se, nella
situazione descritta sopra, C = X, il problema (3.1) si riduce a una disequazione emivariazionale
(si veda la Sezione 3.1); se invece Φ ∈ C 1 (X, R), (3.1) diventa una tradizionale
disequazione variazionale del tipo
〈Φ ′ (u), v − u〉 ≥ 0 per ogni v ∈ C
(si veda in merito la classica monografia di Kinderlehrer e Stampacchia [59]); se infine,
valgono entrambe le restrizioni sopra, (3.1) è l’equazione di Eulero
Φ ′ (u) = 0.
Il punto è che Ψ := Φ + χC è un funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos, e in questo
caso (come si vede facilmente) le condizioni (3.10.1) e (3.1) sono equivalenti: dunque,
risolvere una disequazione variazionale–emivariazionale equivale a trovare i punti critici di
un funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos.