Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Sistemi lineari 91
La scelta di formulare il Teorema 7.12 nel contesto dei sistemi di equazioni è, in qualche
modo, obbligata: infatti, per conformarsi alle ipotesi (7.5) e (7.6), il potenziale F dev’essere,
rispetto alla seconda variabile, positivamente omogeneo con esponente maggiore di 1 e non
quasi–convesso, e queste restrizioni sono incompatibili per una funzione di una variabile
reale.
Invece, per N > 1, non è difficile trovare un potenziale confacente alle nostre condizioni,
come il seguente esempio mostra.
Esempio 7.13. Siano N = 2, A(·) = [aij(·)] una matrice 2 × 2 come sopra, α ∈]1, 2[
un numero reale, e si consideri il seguente sistema autonomo, dipendente dalla funzione
v ∈ H 1 1 :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ü1 = a11(x)u1 + a12(x)u2 + α|u1 + v1(x)| α−2 (u1 + v1(x)) in I
ü2 = a21(x)u1 + a22(x)u2 − α|u2 + v2(x)| α−2 (u2 + v2(x)) in I
u1(1) − u1(0) = ˙u1(1) − ˙u1(0) = 0
u2(1) − u2(0) = ˙u2(1) − ˙u2(0) = 0
Siamo ricondotti allo studio del potenziale F : R 2 → R definito per ogni (s1, s2) ∈ R 2
F (s1, s2) = |s1| α − |s2| α ,
che soddisfa tutte le ipotesi del Teorema 7.12: dunque l’insieme dei punti di biforcazione
v per il problema non è σ–compatto, e quando v non è un punto di biforcazione l’insieme
delle soluzioni è non vuoto e finito.
7.4 Esistenza per sistemi lineari
In questa Sezione studieremo un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo
ordine lineari con condizioni agli estremi periodiche, dipendente da un parametro lineare
e da una funzione di H 1 1 .
Siano I, A come nella Sezione 7.2, e sia F : I × RN → R una funzione tale che F (·, s)
è misurabile per ogni s ∈ RN e F (x, ·) ∈ C2 (RN , R) per q.o. x ∈ I (denotiamo HF (x, ·)
la matrice hessiana di F (x, ·)), e che F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ I; supponiamo inoltre che
esistano a ∈ C0 (R, R) e b ∈ L1 (I) non–negative tali che per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ RN
(7.9) max |F (x, s)| ,
∂F
(x, s)
∂si
,
∂
2
F
(x, s)
∂si∂sj
: i, j = 1, . . . N ≤ a(|s|)b(x).
Inoltre, assumiamo che F non sia convessa rispetto alla seconda variabile, ovvero che
esistano un intervallo chiuso I0 ⊂]0, 1[, s1, s2 ∈ R N (s1 = s2), τ ∈]0, 1[ e σ1, σ2 ∈ R tali
che per q.o. x ∈ I0
(7.10) max {F (x, s1), F (x, s2)} ≤ σ1 < σ2 ≤ F (x, τs1 + (1 − τ)s2) .