Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

64 Capitolo 5. Problemi con due parametri
inoltre, possiamo assumere che vn∞, v∞ ≤ K per ogni n ∈ N (per un opportuno
K > 0), da cui, per il Teorema 3.7, si ha per ogni n ∈ N, x ∈]0, 1[
|F (vn(x)) − F (v(x))| ≤ 2Kα(K),
quindi, applicando il Teorema della convergenza dominata di Lebesgue, otteniamo
contro (5.47).
lim n [JF (vn) − JF (v)] = 0,
Sia ora λ ≥ 0: applicando (5.42) e (4.6.1) si ricava per ogni u ∈ X
da cui (5.20.1).
u 2
2 − λJF (u) ≥ u2
2
≥ u2
2
− λh
− λh
1
(1 + |u(x)|
0
q )dx
1 + uq
2q
,
Questo conclude la dimostrazione.
Lemma 5.21. Il funzionale JG : X → R è sequenzialmente debolmente continuo.
Dimostrazione. Si procede come nel Lemma 5.20.
Diversamente da quanto avviene nei casi precedenti, per il problema studiato in questa
Sezione la diseguaglianza di minimax (5.2.1) si ottiene indirettamente, ricorrendo al
Lemma 5.3; introduciamo alcune notazioni, ponendo Λ = [0, +∞[ e per ogni u ∈ X
I(u) = u2
2 , J(u) = JF (u).
Lemma 5.22. Esistono δ ∈ R e w0, w1 ∈ C verificanti (5.3.1) e (5.3.2).
Dimostrazione. Innanzitutto definiamo una funzione w ∈ X ponendo per ogni x ∈]0, 1[
⎧
⎪⎨ x
w(x) =
⎪⎩
se x ≤ 1
1 − x
2
se x > 1
2
;
quindi poniamo wi = kiw (i = 0, 1): si vede subito che wi ∈ C (ki ≥ 2a), e risulta
mentre
J(wi) =
I(wi) = 1
1
2
|ki|
2 0
2 dx + 1
2
1
2
0
F (kix)dx +
1
1
2
1
1
2
| − ki| 2 dx = k2 i
2 ,
F (ki(1 − x))dx = 2
ki
k i
2
0
F (s)ds.