Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Nonlinearità discontinue e simmetriche 55
A questo punto, un altro, più classico risultato di regolarità assicura che u ∈ W 2,2
loc (Ω′ )
(si veda per esempio il testo di Gilbarg e Trudinger [55], Theorem 8.8).
Dal Lemma 4.10 segue allora che per q.o. x ∈ Ω
−∆u(x) = λf(x, u(x)) + µg(x, u(x)),
ovvero u è una soluzione di (5.31).
Lo studio del problema (5.31) sarà ambientato nello spazio X, quindi introduciamo
due funzionali ponendo per ogni u ∈ X
I(u) = u2
2 , J(u) = JF (u);
inoltre denotiamo Λ = [0, +∞[; i prossimi Lemmi serviranno a predisporre l’applicazione
del Teorema 5.2.
Lemma 5.14. Il funzionale J : X → R è localmente lipschitziano, sequenzialmente
debolmente continuo e per ogni λ ∈ Λ si ha
(5.14.1) lim [I(u) − λJ(u)] = +∞.
u→+∞
Dimostrazione. Per il Lemma 5.12, J è localmente lipschitziano.
Proviamo che J è sequenzialmente debolmente continuo, ragionando per assurdo: siano
{vn} una successione in X debolmente convergente a un punto v ∈ X, e ε > 0 tale che
per ogni n ∈ N
(5.33) |J(vn) − J(v)| ≥ ε;
per il Lemma 5.12, vi è una sottosuccessione, ancora denotata {vn}, tale che vn−vr → 0,
da cui, giacché JF è continuo su L r (Ω),
contro (5.33).
J(vn) − J(v) → 0,
Infine, proviamo (5.14.1), sfruttando (5.26): per ogni u ∈ X si ha infatti
da cui (5.14.1).
I(u) − λJ(u) ≥ u2
2
≥ u2
2
− λ
− λ
Ω
b(x)(1 + |u(x)| q )dx
b1 + b r
r−q cq ru q
,
Così la dimostrazione è conclusa.
Lemma 5.15. Esiste w ∈ X tale che J(w) > 0.