Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Nonlinearità discontinue e simmetriche 53
Dimostrazione. È lecito adottare la norma definita sopra in quanto sulla striscia Ω
vale la diseguaglianza di Poincaré (si veda Esteban [40], Lemma 3), che in generale non è
verificata nel caso di dominî illimitati.
Inoltre, Ω gode della cosiddetta proprietà del cono, il che garantisce la continuità delle
immersioni (si veda la classica monografia di Adams [1], Theorem 5.4).
Notiamo che le immersioni di cui al Lemma 5.11 non sono compatte; per superare
questa difficoltà, dovremo restringerci a un opportuno sottospazio.
Il gruppo G esercita su Y un’azione definita come segue: per ogni g ∈ G, u ∈ Y , sia
per ogni x ∈ Ω
gu(x) = u(g −1 x);
si dimostra che G è un gruppo topologico compatto e che esercita su Y un’azione lineare
e isometrica, i cui punti fissi costituiscono il sottospazio vettoriale chiuso
(si rammenti la Sezione 3.4).
X = {u ∈ Y : gu = u per ogni g ∈ G}
Riportiamo il seguente risultato, dovuto a Esteban e Lions:
Lemma 5.12. ([41], Theorem 1) L’immersione X ↩→ L ν (Ω) è compatta per ogni ν ∈
]2, 2 ∗ [.
Poniamo, come di consueto, per ogni u ∈ Lr (Ω),
JF (u) = F (x, u(x))dx, JG(u) =
Ω
Ω
G(x, u(x))dx;
per il Lemma 4.9, i funzionali JF , JG : L r (Ω) → R sono ben definiti e localmente lipschitziani.
Per ogni λ, µ > 0 e ogni u ∈ Y poniamo altresì
Eλ,µ(u) = u2
2 − λJF (u) − µJG(u),
così definendo il funzionale dell’energia relativo al problema in esame; vale infatti il
seguente Lemma, dalla dimostrazione innegabilmente tortuosa.
Lemma 5.13. Per ogni λ, µ > 0, il funzionale Eλ,µ : Y → R è ben definito, localmente
lipschitziano e ogni suo punto critico è una soluzione del problema (5.31).
Dimostrazione. Il funzionale u ↦→ u2
è localmente lipschitziano (Lemma 3.4); inoltre,
2
per il Lemma 5.11, le restrizioni di JF e JG a Y sono localmente lipschitziane: dunque
Eλ,µ lo è a sua volta.
Sia u ∈ Y un punto critico di Eλ,µ: in primo luogo, dimostriamo che u ∈ W 2,2
loc (Ω);
introdotto un dominio limitato Ω ′ ⊂ RN tale che cl(Ω ′ ) ⊂ Ω, è sufficiente provare che
u ∈ W 2,2
loc (Ω′ ) (in quel che segue, identificheremo le funzioni definite su Ω con le rispettive
restrizioni a Ω ′ ).