Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Il Teorema del passo di montagna 21
c = inf
γ∈Γ sup Ψ(γ(τ)),
τ∈[0,1]
e Ψ soddisfi la condizione di Palais–Smale a quota c. Sia infine F ⊆ X un insieme chiuso
verificante le seguenti condizioni:
(3.16.1) (γ([0, 1]) ∩ F ) \ {u0, u1} = ∅ per ogni γ ∈ Γ;
(3.16.2) Ψ(ui) ≤ inf Ψ(u) (i = 0, 1).
u∈F
Allora, esiste u2 ∈ X, punto critico per Ψ, tale che Ψ(u2) = c; se inoltre
si ha u2 ∈ F .
inf Ψ(u) = c,
u∈F
Osserviamo che c ∈ R: infatti, dom(χ) è convesso, quindi in particolare, definito il
cammino γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0,
si ha γ(τ) ∈ dom(χ) per ogni τ ∈ [0, 1]; inoltre, γ([0, 1]) è compatto, sicché si può stimare
c ≤ max Ψ(γ(τ)) < +∞.
τ∈[0,1]
Dal Teorema 3.16 si trae la seguente estensione del Teorema 3.14:
Teorema 3.17. Siano (X, · ), Ψ = Φ + χ come nella Definizione 3.15, u0, u1 ∈
dom(χ), con u0 = u1, punti di minimo locale per Ψ. Siano Γ, c definiti come nel Teorema
3.16 e Ψ soddisfi la condizione di Palais–Smale a quota c. Allora, esiste u2 ∈ X \ {u0, u1},
punto critico per Ψ, tale che Ψ(u2) = c.
Dimostrazione. Senza perdita di generalità possiamo supporre
e individuare R ∈]0, u1 − u0[ tale che
Ψ(u1) ≤ Ψ(u0) ≤ c,
Ψ(u0) = inf
u∈B(u0,R)
Ψ(u).
Sia F = S(u0, R): chiaramente F è chiuso; inoltre vale (3.16.1) perché ogni cammino
continuo che congiunge u0 e u1 interseca F ; vale anche (3.16.2) perché F ⊂ B(u0, R).
Per il Teorema 3.16 esiste un punto critico u2 ∈ X per Ψ tale che Ψ(u2) = c; rimane
da provare che u2 non coincide con ui (i = 0, 1), distinguendo due casi:
• se Ψ(u0) < c, ovviamente u2 = ui (i = 0, 1);
• se Ψ(u0) = c, si deduce facilmente che inf
u∈F Ψ(u) = c, da cui segue u2 ∈ F , in
particolare u2 = ui (i = 0, 1).
Così la tesi è acquisita.