Elementi di Teoria Spettrale per operatori autoaggiunti non limitati.

Capitolo 9
Elementi di Teoria Spettrale per
operatori autoaggiunti non limitati.
9.1 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti non limitati.
Ci occuperemo ora di generalizzare parte delle definizioni e dei risultati ottenuti nella sezione
precedente. In particolare vogliamo dimostrare il teorema di decomposizione spettrale nel caso
di operatori autoaggiunti non limitati. L’importanza in fisica di tale teorema risiede nel fatto
che, nella Meccanica Quantistica, la maggior parte degli operatori autoaggiunti che rappresentano
osservabili di concreto interesse fisico sono operatori non limitati. Il caso tipico è dato
dall’operatore posizione introdotto nel capitolo 5.
9.1.1 Integrazione di funzioni non limitate rispetto a misure spettrali.
L’estensione dei teoremi precedenti al caso di operatori non limitati si basa sulla definizione di
integrazione di funzioni non limitate rispetto a misure spettrali. Se P è una misura spettrale
sullo spazio topologico a base numerabile X nel senso della definizione 8.3 e se f : X → C è
una funzione misurabile (rispetto all’algebra di Borel di X) ma non necessarimante limitata,
X f(x)dP (x) non ha alcun senso fino ad ora. Tuttavia consideriamo un vettore ψ ∈ H, spazio
di Hilbert della PVM P , tale che
|f(x)| 2 dµψ(x) < +∞ , (9.1)
X
dove la misura spettrale rispetto a ψ, µψ, è quella definita in (c) del teorema 8.4. Possiamo
sempre trovare una successione di funzioni misurabili e limitate fn tali che fn → f per n → +∞
nel senso della norma di L 2 (X, µψ). Per esempio, come si prova facilmente dal teorema della
convergenza monotona, basta considerare la successione di funzioni fn := χn · f, dove χn è la
funzione caratteristica dell’insieme
{x ∈ X | |f(x)| < n} .
258

Usando (iii) di (a) e (b) del teorema 8.5, si ricava immediatamente che vale l’identità
X
fn(x)dP (x)ψ −
X
fm(x)dP (x)ψ
2
=
X
|fn(x) − fm(x)| 2 dµψ(x) . (9.2)
Pertanto la successione di vettori
X fn(x)dP (x)ψ converge a qualche vettore che indicheremo
con
X f(x)dP (x)ψ
f(x)dP (x)ψ := lim fn(x)dP (x)ψ . (9.3)
X
n→+∞
X
È chiaro che
X f(x)dP (x)ψ non dipende dalla successione {fn}n∈N. Se infatti {gn}n∈N è un’altra
successione di funzioni misurabili limitate che converge a f nel senso della norma di L2 (X, µψ),
la norma al quadrato del vettore
X fn(x)dP (x)ψ −
X gn(x)dP (x)ψ risulta essere maggiorata
da, procedendo come sopra,
|fn(x) − gn(x)| 2 dµψ(x) → 0 se n → +∞ ,
e pertanto
X
lim
n→+∞
fn(x)dP (x) = lim
X
n→+∞
gn(x)dP (x) .
X
Possiamo allora enunciare e provare il seguente fondamentale teorema.
Teorema 9.1. Siano X uno spazio topologico a base numerabile, H uno spazio di Hilbert e
P : T(X) → B(H) una misura a valori di proiezione definita sulla σ-algebra di Borel di X.
Sia f : X → C una funzione misurabile e si definisca
∆f := ψ ∈ H
|f(x)| 2
dµψ(x) < +∞ . (9.4)
Valgono i seguenti fatti.
(a) ∆f è un sottospazio denso di H.
(b) L’applicazione
f(x)dP (x) : ∆f ∋ ψ ↦→
X
X
X
f(x)dP (x)ψ , (9.5)
dove il secondo membro è definito in (9.3) per una qualsiasi successione di funzioni misurabili
limitate {fn}n∈N convergenti a f nel senso della norma di L 2 (X, µψ), definisce un operatore
lineare.
(c) L’operatore
X f(x)dP (x) definito in (b) soddisfa le seguenti proprietà.
(i) È un operatore chiuso. Inoltre X f(x)dP (x) è anche limitato, definito su tutto H, e con
norma pari a ||f ↾supp(P ) ||∞ se f è limitata sul supporto di P . In questo caso
X f(x)dP (x)
coincide con la definizione di integrale di funzione rispetto ad una PVM data nella definizione
8.4.
259

(ii) Vale l’identità
X
†
f(x)dP (x) = f(x)dP (x) , (9.6)
X
quindi, in particolare,
X f(x)dP (x) è autoaggiunto se f è reale.
(iii) Se f : R → C e g : R → C sono misurabili e se
X f(x)dP (x)
definito (cioè
X g(x)dP (x)ψ ∈ ∆f ) allora:
X
f(x)dP (x)
X
g(x)dP (x)ψ =
X
X
g(x)dP (x)ψ è ben
(f · g)(x)dP (x)ψ (9.7)
dove · denota il prodotto di funzioni punto per punto.
In particolare se
X f(x)dP (x) X g(x)dP (x)ψ e X g(x)dP (x) X f(x)dP (x)ψ sono entrambi
ben definiti allora deve risultare
f(x)dP (x) g(x)dP (x)ψ = g(x)dP (x) f(x)dP (x)ψ . (9.8)
X
X
X
X
Infine
X f(x)dP (x) X χE(x)dP (x)ψ e
X χE(x)dP (x)
X f(x)dP (x)ψ sono sempre ben definiti,
per ogni ψ ∈ H se f è limitata sul boreliano E ⊂ X.
(iv) Se p : R → C è un polinomio di grado n, vale
p(x)dP (x)ψ = p(T )ψ , (9.9)
R
per ogni ψ ∈ ∆xn, dove p(T ) a secondo membro è ottenuto sostituendo formalmente alla variabile
x del polinomio p l’operatore T :=
X xdP (x), interpretando in esso T 0 come I e T n come la
composizione di n copie di T , per n = 1, 2, 3, . . .
(v) Per ogni ψ ∈ ∆f e φ ∈ H si ha
φ
f(x)dP (x)ψ = f(x)dµφ,ψ(x) . (9.10)
X
(vi) Per ogni ψ ∈ ∆f si ha
(vii) L’operatore
ψ
X
X
X
X
f(x)dP (x)ψ
2
=
f(x)dP (x) è positivo per f positiva, cioè:
X
|f(x)| 2 dµψ(x) . (9.11)
f(x)dP (x)ψ ≥ 0 per ogni ψ ∈ ∆f se f(x) ≥ 0 per x ∈ X (9.12)
Prova.
(a) e (b) Dobbiamo per prima cosa provare che, per ogni fissata f : X → C misurabile, se
260

x, y ∈ ∆f allora x + y ∈ ∆f e cx ∈ ∆f per c ∈ C arbitrario. Per inciso, ∆f contiene almeno il
vettore nullo di H per cui è non vuoto.
Se x, y ∈ ∆f e E ∈ T(X) si ha:
Quindi
Vale inoltre
µx+y(E) = (P (E)(x + y)|x + y) = µx(E) + µy(E) + 2Re(P (E)x|y) .
µx+y(E) ≤ µx(E) + µy(E) + 2|(P (E)x|y)| .
2|(P (E)x|y)| ≤ (P (E)x|x)(P (E)y|y) ≤ (P (E)x|x) + (P (E)y|y) = µx(E) + µy(E) .
Concludendo
µx+y(E) ≤ 2(µx(E) + µy(E)) .
Questa identità implica che se L2 (X, µx) ∋ f e L2 (X, µy) ∋ f allora L2 (X, µx+y) ∋ f. Cioè,
se x, y ∈ ∆f allora x + y ∈ ∆f . D’altra parte, essendo µx(E) = (P (E)x|x), è chiaro che
f ∈ L2 (X, µcx) se f ∈ L2 (X, µx) e c ∈ C. Cioè, se x ∈ ∆f allora cx ∈ ∆f.
Ora, il fatto che l’applicazione
X f(x)dP (x) : ∆f ∋ ψ ↦→
X
f(x)dP (x)ψ sia lineare segue
immediatamente dal fatto che l’integrale di una funzione limitata rispetto ad una PVM sia un
operatore lineare.
Passiamo a provare che ∆f è denso. Fissata f come nelle ipotesi, si definiscano gli insiemi
En := {x ∈ X | n − 1 ≤ |f(x)| < n} ,
per ogni naturale maggiore o uguale a 1. Si osservi che gli En sono disgiunti a due a due e la loro
unione è X. Della definizione 8.3 segue immediatamente che i sottospazi chiusi Hn := P (En)H
sono a due a due ortogonali e, per la proprietà (d) della suddetta definizione, le combinazioni
lineari finite di elementi di tutti gli spazi Hn definiscono un sottospazio denso in H. Dal teorema
della convergenza monotona:
X
|f(x)| 2 dµψ(x) = lim
k
k→+∞
n=1
L’integrale dopo il simbolo di sommatoria può essere trascritto
χEn(x)f(x)dP (x)ψ
χEn(x)f(x)dP (x)ψ .
X
X
X
|χEn(x)f(x)| 2 dµψ(x) . (9.13)
D’altra parte, visto che x ↦→ χEn(x)f(x) è limitata per costruzione e che χEn
usando (iii) in (a) di teorema 8.2 si ha
= χEn · χEn,
χEn(x)f(x)dP (x)ψ = χEn(x)f(x)dP (x) χEn(x)dP (x)ψ = χEn(x)f(x)dP (x)◦P (En)ψ.
X
X
X
261
X

Se quindi ψ ∈ Hn, essendo i proiettori P (En) ortogonali a due a due, varrà:
χEk (x)f(x)dP (x)ψ = 0, se k = n .
X
Di conseguenza, nelle ipotesi dette per ψ, la serie in (9.13) si riduce a:
|f(x)| 2
dµψ(x) =
X
|χEn(x)f(x)|
X
2 dµψ(x) < n 2 < +∞ .
Concludiamo che Hn ⊂ ∆f, per ogni n = 1, 2, . . .. Dato che ∆f è sottospazio conterrà anche il
sottospazio denso delle combinazioni lineari finite di elementi di tutti gli spazi Hn. Pertanto ∆f
è denso.
(c) Mostriamo che T :=
X f(x)dP (x) è un operatore chiuso. Si deve quindi provare che se
φnn∈N ⊂ ∆f e contemporaneamente esistono φ := limn→+∞ φn e ψ := limn→+∞ T φn allora
φ ∈ ∆f e ψ = T φ. Nel seguito ψn := T φn.
(i) Scegliendo fn := f per ogni n ∈ N in (9.3) si vede che nel caso f sia limitata,
coincide con la definizione data nella definizione 8.4.
(da completare) ✷
X
f(x)dP (x)
Possiamo quindi dare la seguente definizione che estende la nozione di integrale di una funzione
rispetto ad una PVM.
Definizione 9.1. Siano X uno spazio topologico a base numerabile, H uno spazio di Hilbert e
P : T(X) → B(H) una misura a valori di proiezione definita sulla σ-algebra di Borel di X.
(a) Se f : X → C una funzione misurabile, l’operatore
f(x)dP (x) : ∆f → H
X
dato in (9.5) è detto integrale di f rispetto alla misura a valori di proiezione P .
(b) Per ogni E ⊂ T(X) e per ogni f : X → C misurabile oppure g : E → C misurabile, gli
integrali
f(x) dP (x) := χE(x)f(x) dP (x)
e
E
E
X
g(x) dP (x) :=
X
g0(x) dP (x) ,
dove g0(x) := g(x) se x ∈ E oppure g0(x) := 0 se x ∈ E, sono detti, rispettivamente, integrale
di f su E e integrale di g su E (rispetto alla misura a valori di proiezione P ).
Nota. Per (i) in (c) del teorema 9.1, questa definizione estende quella già data in definizione
8.4 per il caso di funzioni limitate.
262

9.1.2 Teorema di decomposizione spettrale per operatori autoaggiunti non
limitati.
Siamo ora in grado di eneunciare e provare il teorema di decomposizione spettrale per operatori
autoaggiunti non limitati.
Teorema 9.2. Sia T operatore autoaggiunto (non necessariamente limitato) sullo spazio di
Hilbert H. Valgono i seguenti fatti.
(a) Esiste ed è unica una misura a valori di proiezione P (T ) su R (dotato della topologia
standard) tale che:
T =
(b) Vale l’identità
λ dP
R
(T ) (λ) . (9.14)
supp(P (T ) ) = σ(T ) (9.15)
e valgono in particolare i seguenti fatti
(i) λ ∈ σp(T ) se e solo se P (T ) ({x}) = 0;
(ii) λ ∈ σc(T ) se e solo se P (T ) ({x}) = 0 e, per ogni aperto Aλ ⊂ R con Aλ ∋ x, è
P (T ) (Aλ) = 0;
(iii) se λ ∈ σ(T ) è un punto isolato, allora λ ∈ σp(T );
(iv) se λ ∈ σc(T ), allora, per ogni ɛ > 0, esiste φɛ ∈ D(T ) con ||φɛ|| = 1 e
Prova. (da completare) ✷
0 < ||T φɛ − λφɛ|| ≤ ɛ .
Una utile definizione per le applicazioni in meccanica quantistica la seguente.
Definizione 9.2. Sia T operatore autoaggiunto sullo spazio di Hilbert H. Se f : R → C,
l’operatore
f(T ) := f(x)dP (T ) (x) , (9.16)
R
con, di conseguenza, dominio D(f(T )) = {ψ ∈ H |
R |f(x)|2dµψ(x) < +∞} è detto funzione
f dell’operatore T .
Le funzioni di un operatore godono allora di alcune notevoli proprietà. Alcune di esse seguono
immediatamente dal teorema 9.1. La seguente proposizione ne specifica ulteriori in relazione
con lo spettro di T .
Proposizione 9.1. Sia T operatore autoaggiunto sullo spazio di Hilbert H e f : R → C una
funzione misurabile. l’operatore f(T ) gode delle seguenti proprietà.
263

(a) f(T ) commuta con tutti gli operatori commuta con tutti gli operatori di B(H) che commutano
con T .
(b) σ(f(T )) ⊂ f(σ(T )) dove la barra indica la chiusura topologica. In particolare vale più fortemente
σ(f(T )) = f(σ(T )) se f è derivabile su R.
(c) Se f è limitata f(σp(T )) ⊂ σp(f(T )).
9.2 Gruppi unitari ad un parametro fortemente continui e Teorema
di Stone.
Il teorema di Stone è uno dei teoremi più importanti per le applicazioni in meccanica quantistica
(e non solo). Per enunciarlo abbiamo bisogno di qualche definizione e semplice risultato
preliminare.
Definizione 9.3. Sia H è spazio di Hilbert. Una classe {Ut}t∈R ⊂ B(H) è detta gruppo ad
un parametro se vale
U0 = I e UtUs = Ut+s per ogni coppia t, s ∈ R (9.17)
Un gruppo ad un parametro costituito da operatori unitari è detto gruppo unitario ad un
parametro.
Un gruppo ad un parametro {Ut}t∈R ⊂ B(H) è detto debolmente continuo in t0 ∈ R oppure
fortemente continuo in t0 ∈ R se l’applicazione t ↦→ Ut è continua in t0, rispettivamente,
nella topologia operatoriale debole ovvero in quella operatoriale forte dotando R della topologia
standard.
Un gruppo ad un parametro {Ut}t∈R ⊂ B(H) è detto debolmente continuo oppure fortemente
continuo se è rispettivamente tale in ogni punto di R.
Si osservi che dalla condizione (9.17) segue immediatamente che
U −1
t = U−t , per ogni t ∈ R . (9.18)
La prova è ovvia: da U −1
t Ut = I, applicando U−t al lato destro dei due membri ed usando la
seconda di (9.17), si ha U −1
t Ut−t = U−t ossia, dalla prima identità in (9.17), U −1
t = U−t.
I gruppi unitari ad un parametro godono di diverse notevoli proprietà.
Proposizione 9.2. Sia (H, (·|·)) uno spazio di Hilbert complesso e {Ut}t∈R un gruppo unitario
ad un parametro. I seguenti fatti sono equivalenti.
(a) (ψ|Utψ) → (ψ|ψ) per t → 0 e per ogni ψ ∈ H.
(b) {Ut}t∈R è debolmente continuo in t = 0.
(c) {Ut}t∈R è debolmente continuo.
(d) {Ut}t∈R è fortemente continuo in t = 0.
264

(e) {Ut}t∈R è fortemente continuo.
Prova. Prima di tutto rietichettiamo come segue le proposizioni precedenti.
(1) {Ut}t∈R è debolmente continuo in t = 0. (2) (ψ|Utψ) → (ψ|ψ) per t → 0 e per ogni ψ ∈ H.
(3) {Ut}t∈R è fortemente continuo in t = 0. (4) {Ut}t∈R è fortemente continuo. (5) {Ut}t∈R è
debolmente continuo. Infine mostriamo che (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1).
(1) ⇒ (2) e (2) ⇒ (3). La continuità per t = 0 nella topologia debole implica in particolare
che, se t → 0, allora (ψ|Utψ) → (ψ|U0ψ) = (ψ|ψ) ed anche, prendendo il complesso coniugato,
(Utψ|ψ) → (U0ψ|ψ) = (ψ|ψ). Viceversa, la continuità forte in t = 0 equivale a dire che, per ogni
ψ ∈ H, se t → 0,
||Utψ − U0ψ|| → 0 .
Ricordando che U0 = I, prendendo il quadrato ed esprimento la norma in termine del prodotto
scalare, tale identità equivale a
(Utψ|Utψ) − (ψ|Utψ) − (Utψ|ψ) + (ψ|ψ) → 0 .
La condizione di unitarietà per Ut implica che (Utψ|Utψ) = (ψ, ψ), da cui, l’identità di sopra si
può ancora riscrivere come
(ψ|ψ) − (ψ|Utψ) − (Utψ|ψ) + (ψ, ψ) → 0 , se t → 0 .
Come precisato all’inizio della dimostrazione, questa identità è banalmente verificata nelle nostre
ipotesi.
(3) ⇒ (4). Se ψ ∈ H, vale
Utψ − Ut0 ψ = Ut(ψ − U −1
t Ut0 ψ) = Ut(ψ − Ut0−tψ) ,
dove abbiamo sfruttato l’identità (9.18). In definitiva, usando il fatto che Ut è unitario, per ogni
ψ ∈ H troviamo:
||Usψ − Ut0 ψ|| = ||Us(ψ − Ut0−sψ)|| = ||ψ − Ut0−sψ||
Nelle ipotesi di forte continutà in t = 0, tenendo conto che t0 − s → 0 per s → t0 si ha che
||Usψ − Ut0ψ|| → 0. Quindi la continuità forte per t = 0 implica la continuità forte per ogni
t0 ∈ R.
(4) ⇒ (5). È ovvia dal fatto che la convergenza nella topologia forte implica quella nella
topologia debole.
(5) ⇒ (1). È banalmente vera per definizione. ✷
Un’altra notevole proprietà dei gruppi unitari ad un parametro è la seguente.
Proposizione 9.3. Sia (H, (·|·)) uno spazio di Hilbert complesso e {Ut}t∈R un gruppo unitario
ad un parametro su di esso. Sia H ⊂ H un sottoinsieme tale che:
(a) lo spazio 〈H〉 finitamente generato da H è denso in H,
265

(b) {Ut}t∈R soddisfa (ψ|Utψ) → (ψ|ψ) per t → 0 e per ogni ψ ∈ H,
allora {Ut}t∈R è un gruppo unitario ad un parametro fortemente continuo.
Prova. Usando la stessa dimostrazione fatta per la proposizione 9.2, si ha subito che (φ0|Utφ0) →
(φ0|φ0) per t → 0 con φ0 ∈ H, implica che ||Utφ0 − φ0|| → 0 per t → 0. Se più in generale
φ ∈ 〈H〉 allora φ =
i∈I ciφ0i dove I è finito e φ0i ∈ H. Di conseguenza, se t → 0,
||Utφ − φ|| =
Ut
ciφ0i −
ciφ0i
=
ci(Utφ0i − φ0i)
≤ |ci|||Utφ0i − φ0i|| → 0 .
i
i
Per la proposizione 9.2, per dimostrare la tesi è allora sufficiente estendere il risultato a tutto H.
Dobbiamo cioé provare che ||Utφ − φ|| → 0 per t → 0 per ogni φ ∈ 〈H〉 implica ||Utψ − ψ|| → 0
se t → 0 per ogni ψ ∈ H. Dato che 〈H〉 è denso, per ogni ψ ∈ H fissato esisterà una successione
{ψn}n∈N ⊂ 〈H〉 con ψn → φ se n → +∞. Se {tm}m∈N è una successione di reali che tende a 0,
vale allora, dalla disuguaglianza triangolare e per n ∈ N fissato:
||Utmψ − ψ|| ≤ ||Utmψ − Utmφn|| + ||Utmφn − φn|| + ||φn − ψ|| .
Ossia, tenendo conto che gli Utm sono unitari e che la norma è non negativa:
i
0 ≤ ||Utmψ − ψ|| ≤ ||Utmφn − φn|| + 2||φn − ψ|| . (9.19)
Per n fisso, il limite della successione di elementi am := ||Utmφn − φn|| è nullo per ipotesi, per
cui
lim sup ||Utmφn − φn|| = lim inf
m
m ||Utmφn − φn|| = lim
m→+∞ ||Utmφn − φn|| = 0 .
Di conseguenza, dalla disuguaglianza (9.19) abbiamo che, per ogni n ∈ N
0 ≤ lim sup ||Utmψ − ψ|| ≤ 2||φn − ψ|| , 0 ≤ lim inf
m
m
||Utmψ − ψ|| ≤ 2||φn − ψ|| .
D’altra parte, prendendo n sufficientemente grande, possiamo rendere piccolo a piacere ||φn−ψ||.
Concludiamo che:
per cui esiste
lim sup ||Utmψ − ψ|| = lim inf
m
m
||Utmψ − ψ|| = 0 ,
lim
m→+∞ ||Utmψ − ψ|| = 0 .
Dato che ψ ∈ H e la successione {tm}m∈N con tm → 0 erano arbitrari, concludiamo che, per
ogni ψ ∈ H:
lim
t→0 ||Utψ − ψ|| = 0 .
La dimostrazione è terminata ✷.
266
i

Per concludere possiamo enunciare e provare il celebre teorema di Stone. In realtà il risultato
dovuto a Stone nel seguente teorema è la parte (b), che è la meno banale dell’enunciato.
Teorema 9.3 (Teorema di Stone). Sia H uno spazio di Hilbert. Vale quanto segue.
(a) Se A : D(A) → H, con D(A) denso in H, è un operatore autoaggiunto su H e P (A) è la sua
misura spettrale, gli operatori
Ut = e −itA
:= e −iλt dP (A) (λ) ,
σ(A)
con t ∈ R, costituiscono un gruppo unitario ad un parametro fortemente continuo. In tal caso:
(i) esiste in H
Utψ − ψ
lim
(9.20)
t→0 t
se e solo se ψ ∈ D(A);
(ii) se ψ ∈ D(A) vale
s- dUt
Utψ − ψ
dt ψ := lim = −iAψ (9.21)
t=0
t→0 t
(b) Se {Ut}t∈R è un gruppo unitario ad un parametro fortemente continuo su H esiste, ed è
unico, un operatore autoaggiunto A : D(A) → H (con D(A) denso in H) tale che
Prova. Da inserire. ✷
e −itA = Ut , per ogni t ∈ R. (9.22)
Definizione 9.4. Sia H è spazio di Hilbert e {Ut}t∈R ⊂ B(H) un gruppo unitario ad un
parametro fortemente continuo. L’unico operatore autoaggiunto su A tale da soddisfare (9.22) è
detto generatore (autoaggiunto) di {Ut}t∈R ⊂ B(H).
Per concludere possiamo enunciare e provare un teorema riguardante la commutatività delle
misure spettrali di due operatori autoaggiunti. Tale teorema ha larghe applicazioni in Meccanica
Quantistica.
Teorema 9.4 Siano A e B due operatori autoaggiunti (in generale non limitati) sullo spazio di
Hilbert H con misure spettrali P (A) e P (B) . I seguenti fatti sono equivalenti.
(a) Per ogni coppia di boreliani E, E ′ ⊂ R
(b) Per ogni coppia di numeri reali t, t ′ ∈ R
P (A) (B)
E P E ′ = P (B)
E ′ P (A)
E .
e −itA e −it′ B = e −it ′ B e −itA .
267

Prova. Da inserire. ✷
9.3 Prodotto tensoriale hilbertiano.
Come vedremo tra nel prossimo capitolo, i sistemi quantistici composti vengono descritti in
spazi di Hilbert ottenuti prendendo il prodotto tensoriale Hilbertiano degli spazi di Hilbert dei
sottosistemi componenti. Chiariamo nel seguito cosa intendiamo qui per prodotto tensoriale
Hilbertiano, assumendo, per le motivazioni generali e le notazioni, che il lettore conosca la
definizione di prodotto tensoriale nel caso di spazi vettoriali a dimensione finita.
9.3.1 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert.
Consideriamo n spazi di Hilbert (complessi) (Hi, (·|·)i) con i = 1, 2, · · · , n e scegliamo un vettore
vi per ogni spazio Hi. In analogia al caso finito dimensionale, potremmo definire l’applicazione
v1 ⊗ · · · ⊗ vn come un’applicazione multilineare dal prodotto cartesiano degli n spazi duali
topologici H ′ i degli spazi Hi a valori in C, usando la definizione che si usa per il caso finito
dimensionale:
v1 ⊗ · · · ⊗ vn : H ′ 1 × · · · × H′ n ∋ (f1, · · · , fn) ↦→ f1(v1) · · · fn(vn) .
Del tutto equivalentemente, tenendo conto del teorema di Riesz, possiamo definire l’azione di
v1 ⊗ · · · ⊗ vn sulle n-ple di vettori di H1 × · · · × Hn invece che su quelle di H ′ 1 × · · · × H′ n . In
questo modo teniamo conto dell’identificazione del duale di uno spazio di Hilbert con lo spazio
di Hilbert stesso, ottenuta tramite un anti isomorfismo costruito con il prodotto scalare. Con
questo approccio v1 ⊗ · · · ⊗ vn agisce su n-ple di vettori (u1, · · · , un) ∈ H1 × · · · × Hn per mezzo
dei prodotti scalari e definisce un funzionale anti multi-lineare. Sceglieremo questa seconda via
per motivi di praticità.
Definizione 9.5. Consideriamo n spazi di Hilbert (complessi) (Hi, (·|·)i) con i = 1, 2, · · · , n
e scegliamo un vettore vi per ogni spazio Hi. Il prodotto tensoriale dei vettori v1, . . . , vn,
v1 ⊗ · · · ⊗ vn è l’applicazione multi anti-lineare:
v1 ⊗ · · · ⊗ vn : H1 × · · · × Hn ∋ (u1, · · · , un) ↦→ (u1|v1)1 · · · (un|vn) .
Con T n
i=1Hi indichiamo l’insieme di applicazioni {v1 ⊗ · · · ⊗ vn | vi ∈ Hi , i = 1, 2, · · · , n}
mentre n
i=1Hi denota lo spazio vettoriale su C delle applicazioni multi anti-lineari date da
combinazioni lineari finite di elementi v1 ⊗ · · · ⊗ vn ∈ T n
i=1Hi. 268

Osservazione. Con questa definizione, la funzione che associa (v1, . . . vn) a v1 ⊗ · · · ⊗ vn è
comunque multi-lineare.
Possiamo definire un prodotto scalare (·|·) su n
i=1Hi come segue. Consideriamo l’applicazione
da S : T n
i=1Hi × T n
i=1Hi → C con
Vale il seguente risultato.
S(v1 ⊗ · · · ⊗ vn, v ′ 1 ⊗ · · · ⊗ v ′ n) := (v1|v ′ 1) · · · (vn|v ′ n) .
Proposizione 9.4. L’applicazione S : T n
i=1Hi × T n
i=1Hi → C si estende in maniera univoca, per
antilinearità nell’argomento di sinistra e per linearità in quello di destra, ad un prodotto scalare
hermitiano sullo spazio vettoriale complesso n
i=1Hi definito da:
(Ψ|Φ) :=
αiβjS(v1i ⊗ · · · ⊗ vni, u1j ⊗ · · · ⊗ unj)
i
j
se Ψ =
i αiv1i ⊗ · · · ⊗ vni e Φ =
j βju1j ⊗ · · · ⊗ unj (essendo entrambe le somme finite).
Prova. Per semplicità di scrittura eseguiamo la prova nel caso n = 2. Per n > 2 la dimostrazione
è identica. Dobbiamo prima di tutto mostrare che se Ψ, Φ ∈ H1 ⊗H2 e valgono le decomposizioni
, allora risulta
Ψ =
j αjvj ⊗ v ′ j
=
h βhuh ⊗ u ′ h
e anche
h
j
k
k
αjγkS(vj ⊗ v ′ j , wk ⊗ w ′ k
βhγkS(uh ⊗ u ′ h , wk ⊗ w ′ k
e Φ =
k γkwk ⊗ w ′ k
) =
j
s
) =
h
s
=
s δszs ⊗ z ′ s
αjδsS(vj ⊗ v ′ j , zs ⊗ z ′ s ) (9.23)
βhδsS(uh ⊗ u ′ h , zs ⊗ z ′ s) . (9.24)
Questo proverebbe che l’estensione (anti-) lineare di S a H1 ⊗H2 è ben definita non dipendendo
dalla decomposizione usata per rappresentare gli argomenti di S. Dimostriamo l’indipendenza
per l’argomento di sinistra (9.23), per l’argomento di destra (9.24) si procede analogamente. Il
primo membro di (9.23) si può riscrivere
j
k
αjγkS(vj ⊗ v ′ j , wk ⊗ w ′
k ) =
j
k
γkwk ⊗ w ′ k
(αjvj, v ′ j
) =
j
Φ(αjvj, v ′ j )
e, con la stessa procedura, lavorando sul secondo membro di (9.23), si ha ugualmente
) =
j
s
αjδsS(vj ⊗ v ′ j , zs ⊗ z ′
s ) =
j
s
269
δszs ⊗ z ′ s
(αjvj, v ′ j
j
Φ(αjvj, v ′ j ) ,

dove abbiamo usato l’ipotesi Φ =
k γkwk ⊗ w ′
k = s δszs ⊗ z ′ s. Quindi S si estende univocamente
ad una applicazione lineare a destra ed antilineare a sinistra (·|·) : H1 ⊗H2 → C.
Direttamente dalla definizione di S si ha che vale
(Ψ|Φ) = (Φ|Ψ) .
Per mostrare che in effetti (·|·) definisce un prodotto scalare hermitiano è ora sufficiente provare
che (·|·) è positivo. La prova è semplice. Se Ψ = n j=1 αjvj ⊗ v ′ j , dove, per ipotesi n < +∞,
possiamo considerare una base Hilbertiana (finita!) u1, · · · , um (m ≤ n) per il sottospazio
, (l ≤ n) per il sottospazio generato da
generato da v1, · · · , vn ed una base analoga u ′ 1 , · · · , u′ l
v ′ 1 , · · · , v′ n. Sfruttando la bi-linearità di ⊗, potremo alla fine scrivere Ψ = m j=1
l
k=1 bjkuj ⊗ u ′ k
dove i coefficienti bjk sono opportuni. Usando direttamente la definizione di S ed il fatto che le
basi considerate sono ortonormali:
⎛
m l
(Ψ|Ψ) = ⎝ bjkuj ⊗ u ′
m l
k bisui ⊗ u
′ ⎞
n l
⎠
s = |bjk| 2 .
j=1 k=1
La positività di (·|·) è ora evidente. ✷
i=1 s=1
j=1 k=1
Definizione 9.6. Consideriamo n spazi di Hilbert (complessi) (Hi, (·|·)i) con i = 1, 2, · · · , n.
Il prodotto tensoriale hilbertiano degli spazi Hi, n
i=1 Hi, indicato equivalentemente con
H1 ⊗· · ·⊗Hn, è lo spazio di Hilbert ottenuto prendendo il completamento hilbertiano (cfr sezione
3.1) dello spazio n
i=1 Hi rispetto al prodotto scalare (·|·) della proposizione 10.4.
È immediato verificare che la definizione si riduce a quella elementare nel caso in cui gli spazi
Hi siano finito dimensionali. Inoltre sussiste il seguente utile risultato.
Proposizione 9.5. Consideriamo n spazi di Hilbert (complessi) (Hi, (·|·)i) con i = 1, 2, · · · , n
e corrispondenti basi hilbertiane Ni ⊂ Hi con i = 1, 2, · · · , n. L’insieme
è una base hilbertiana per H1 ⊗ · · · ⊗ Hn.
N := {z1 ⊗ · · · ⊗ zn | zi ∈ Ni , i = 1, 2, · · · , n}
Prova. Per costruzione N è un sistema ortonormale (la verifica è immediata usando la definizione
del prodotto scalare sullo spazio prodotto tensoriale). Bisogna solo provare che N è denso in
H1 ⊗ · · · ⊗ Hn. Dato che le combinazioni lineari di elementi del tipo v1 ⊗ · · · ⊗ vn sono dense
in H1 ⊗ · · · ⊗ Hn è sufficiente provare che ogni elemento v1 ⊗ · · · ⊗ vn può essere approssimato
a piacimento da combinazioni lineari di elementi z1 ⊗ · · · ⊗ zn di N. Per semplicità notazionale
lavoriamo nel caso n = 2, dato che il caso n > 2 si dimostra nello stesso modo. Nelle nostre
ipotesi, per una opportuna scelta di coefficienti γz e βz ′, valgono gli sviluppi:
v1 =
γzz , v2 =
βz ′z′
z∈N1
270
z ′ ∈N2

che equivale a dire (teorema 3.4 e definizione 3.4)
||v1|| 2 ⎧
⎨
= sup |γz|
⎩
2
F1
⎫
⎬
sottoinsieme finito di N1
⎭
e
z∈F1
z ′ ∈F2
(9.25)
||v2|| 2 ⎧
⎨
= sup |βz
⎩
′|2
F2
⎫
⎬
sottoinsieme finito di N2 . (9.26)
⎭
Il calcolo diretto, basato sull’ortonormalità dei vettori z ⊗ z ′ e sulla definizione di prodotto
scalare in H1 ⊗ H2, prova immediatamente che, se F ⊂ N1 × N2 è finito
v1 ⊗ v2 −
2
γzβz ′z ⊗ z′
= ||v1||
2 ||v2|| 2 −
|γz| 2 |βz ′|2 .
(z,z ′ )∈F
(z,z ′ )∈F
Valendo (9.25) e (9.26), possiamo rendere piccolo a piacere il secondo membro dell’identità
scegliendo F sempre più grande. Questo conclude la prova. ✷
Esempi 9.1.
(1) Esemplificheremo la nozione di spazio prodotto tensoriale, mostrando che lavorando con
spazi L2 separabili (spazi delle funzioni d’onda in meccanica quantistica), il prodotto tensoriale
può essere visto in un altro modo equivalente passando alle misure prodotto.
Consideriamo una coppia di spazi di Hilbert separabili, L2 (Xi, µi) con i = 1, 2, e supponiamo che
le misure siano entrambe σ-finite in modo tale che sia ben definita la misura prodotto µ1 ⊗ µ2
su X1 × X2. Vogliamo mostrare che nelle ipotesi fatte:
L2 (X1, µ1) ⊗ L2 (X1, µ1) e L2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2) sono isomorfi in modo naturale come spazi di
Hilbert.
La trasformazione unitaria che identifica tali spazi è l’unica estensione lineare limitata dell’applicazione
U0 che associa ogni prodotto tensoriale elementare ψ ⊗ φ ∈ L2 (X1, µ1) ⊗ L2 (X1, µ1)
alla corrispondente funzione ψ · φ ∈ L2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2), dove (ψ · φ)(x, y) := ψ(x)φ(y) per
x ∈ X1 e y ∈ X2.
La prova è la seguente. Prima di tutto notiamo che, se N1 := {ψn}n∈N e N2 := {φn}n∈N sono basi
hilbertiane in L2 (X1, µ1) e L2 (X1, µ1) rispettivamente, allora l’insieme N := {ψn · φm} (n,m)∈N×N
è base hilbertiana in L2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2). Infatti N è banalmente un insieme ortonormale per
proprietà elementari della misura prodotto, inoltre, se f ∈ L2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2) è tale che, per
ogni ψn · φn,
f(x, y)ψn(x)φm(y)dµ1(x) ⊗ dµ2(y) = 0 ,
X×X2
dal teorema di Fubini-Tonelli segue che
f(x, y)ψn(x)dµ1(x) φm(y)dµ2(y) = 0 .
X2
X1
271

Dato che le φm sono una base hilbertiana, questo implica che
f(x, y)ψn(x)dµ1(x) = 0 ,
X1
eccetto che per un insieme Sm ⊂ X2 di misura nulla rispetto a µ2. Allora, per y ∈ S := Um∈NSm
(che è di misura nulla essendo unione numerabile di insiemi di misura nulla) vale
f(x, y)ψn(x)dµ1(x) = 0
X1
per ogni ψn ∈ N1, che implica che f(x, y) = 0, eccetto che per x ∈ B, essendo B di misura nulla
rispetto a µ1. In definitiva vale f(x, y) = 0, escludendo i punti dell’insieme S × B che, per le
proprietà elementari di misura prodotto, è un insieme di misura nulla rispetto a µ1 ⊗ µ2. In
definitiva vale f = 0, dove f è pensato come elemento di L 2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2). Allora N è una
base hilbertiana essendo insieme ortonormale con ortogonale dato dal vettore nullo.
Consideriamo infine l’unica applicazione lineare limitata U che associa l’elemento ψn ⊗ φm della
base hilbertiana dello spazio di L 2 (X1, µ1) ⊗ L 2 (X1, µ1) con l’elemento ψn · φm della base hilber-
tiana dello spazio di L2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2). Per costruzione U è unitaria. È inoltre immediato
verificare che U associa ogni elemento ψ ⊗ φ ∈ L2 (X1, µ1) ⊗ L2 (X1, µ1) con il corrispondente
elemento ψ · φ ∈ L2 (X1 × X2, µ1 ⊗ µ2) (basta notare che ψ ⊗ φ e ψ · φ hanno le stesse componenti
nelle rispettive basi) per cui U è un’estensione lineare unitaria di U0. Ogni altra estensione
lineare limitata U ′ di U0, dovendo estendere U0, deve ridursi a U quando valutata sulle basi
ψn ⊗ φm ψn · φm e pertanto deve coincidere con U stessa per linearità e per continuità.
(2) Se (Hk, (·|·)) sono n < ∞ spazi di Hilbert, in generale distinti, la somma diretta Hilbertiana
di tali spazi, n k=1 Hk, è definita come lo spazio di Hilbert i cui elementi sono le n-ple
(ψ1, . . . , ψn) ∈ H1 × · · · × Hn, le operazioni di spazio vettoriale sono quelle standard di n-ple ed
il prodotto scalare è
n
((ψ1, . . . , ψn)|(φ1, . . . , φn)) := (ψi|φi)i
Un altro risultato importante riguardante il prodotto tensoriale hilbertiano è il seguente e riguarda
il caso in cui tutti gli Hk di una somma hilbertiana coincidono.
Se H è uno spazio di Hilbert e 0 < n ∈ N è fissato, lo spazio di Hilbert H ⊗ C n è naturalmente
isomorfo a n
k=1 H.
La trasformazione unitaria che identifica i due spazi è l’unica estensione lineare limitata dell’applicazione
V0 che associa il prodotto tensoriale elementare ψ ⊗ (v1, . . . , vn) a (v1ψ, . . . , vnψ)
per ogni ψ ∈ H e (v1, . . . , vn) ∈ C n .
La dimostrazione si esegue come nell’analogo enunciato nell’esempio (1). Si fissa una base hilber-
tiana N ⊂ H. Per costruzione i vettori (ψ, 0, . . . , 0), (0, ψ, 0, . . . , 0), · · · (0, . . . , 0, ψ) definiscono
una base Hilbertiana di n k=1 H se ψ variano in N. Si considera l’unica trasformazione lineare
limitata che associa ψ ⊗ ei a (0, . . . , ψ, . . . , 0) dove: ψ ∈ N, ei è l’i-esimo vettore di base
della base canonica di Cn e nella n-pla l’unico posto non nullo, occupato da ψ, è proprio l’iesimo
posto. È immediato verificare che tale applicazione è unitaria e si riduce a V0 lavorando su
272
k=1

elementi ψ⊗(v1, . . . , vn). L’unicità dell’estensione lineare limitata si prova come nell’esempio (1).
9.3.2 Prodotto tensoriale di operatori.
Come ultimo argomento matematico introduciamo il prodotto tensoriale di operatori. Se A e B
sono operatori con dominio, rispettivamente D(A) e D(B) nei rispettivi spazi di Hilbert H1 e
H2, indicheremo con D(A) ⊗ D(B) ⊂ H1 ⊗ H2 il sottospazio delle combinazioni lineari finite di
elementi ψ ⊗ φ con ψ ∈ D(A) e φ ∈ D(B). Possiamo provare a definire un operatore
A⊗B : D(A) ⊗ D(B) → H1 ⊗ H2
come estensione lineare di ψ ⊗ φ ↦→ (Aψ) ⊗ (Bφ). Il punto da verificare è se una tale estensione
lineare sia effettivamente ben definita. Supponiamo pertanto che, per Ψ ∈ D(A)⊗D(B), valgano
. Dobbiamo verificare che
le due decomposizioni (finite!) Ψ =
k ckψk ⊗ φk =
j c′ k ψ′ j ⊗ φ′ j
ck(Aψk) ⊗ (Bφk) =
k
j
c ′ j(Aψ ′ j) ⊗ (Bφ ′ j) .
Per verificare ciò consideriamo una base hilbertiana (finita!) di vettori fr per lo spazio generato
da tutti i vettori ψk unitamente ai vettori ψ ′ j , ed una analoga base di vettori gs per lo spazio
generato da tutti i vettori φk unitamente ai vettori φ ′ j . In particolare avremo che
ψk ⊗ φk =
α (i)
r,s
rs fr ⊗ gs , ψ ′ j ⊗ φ ′ j =
r,s
β (j)
rs fr ⊗ gs .
Inoltre, dato che siamo partiti dallo stesso vettore Ψ decomposto in due modi diversi, deve valere
anche
ckα (k)
rs =
c ′ jβ (j)
rs .
Usando queste tre identità si trova immediatamente che:
(A⊗B)
ckψk ⊗ φk =
(
=
(
rs
j
k
c ′ j β(j)
Quindi A ⊗ B è in effetti ben definito.
k
rs
j
k
ckα (k)
rs )((Afr) ⊗ (Bgs))
rs )((Afr) ⊗ (Bgs)) = (A ⊗ B)
j
c ′ k ψ′ j ⊗ φ′ j .
Definizione 9.7. Siano A e B operatori con domini, rispettivamente D(A) e D(B) nei rispettivi
spazi di Hilbert H1 e H2, e D(A) ⊗ D(B) ⊂ H1 ⊗ H2 denoti il sottospazio delle combinazioni
lineari finite di elementi ψ ⊗ φ con ψ ∈ D(A) e φ ∈ D(B).
273

Il prodotto tensoriale di A e B è l’operatore lineare A ⊗ B : D(A) ⊗ D(B) → H1 ⊗ H2
ottenuto estendendo per linearià:
ψ ⊗ φ ↦→ (Aψ) ⊗ (Bφ) , per ψ ∈ D(A) e φ ∈ D(B).
Per le applicazioni è utile il seguente risultato.
Proposizione 9.6. Siano A e B operatori chiudibili con domini densi, rispettivamente D(A) e
D(B) nei rispettivi spazi di Hilbert H1 e H2.
Gli operatori A⊗B e A⊗I +I ⊗B (anche quest’ultimo definito su D(A)⊗D(B)) sono operatori
chiudibili.
Prova. Sia Ψ ∈ D(A † ) ⊗ D(B † ). Per definizione (Ψ|A ⊗ BΦ) = (A † ⊗ B † Ψ|Φ) per ogni Φ ∈
D(A) ⊗ D(B). Ma allora, dalla definizione di aggiunto:
D(A † ) ⊗ D(B † ) ⊂ D((A ⊗ B) † ) .
Per (b) di teorema 5.1, essendo A e B con domini densi e chiudibili il dominio dei rispettivi
aggiunti dovrà essere denso e di conseguenza D((A ⊗ B) † ) è anch’esso densamente definito per
cui A ⊗ B è chiudibile. La prova per l’operatore A ⊗ I + I ⊗ B è analoga. ✷
La generalizzazione al caso del prodotto tensoriale di più operatori A1 ⊗ · · · ⊗ An è immediata
estendendo in modo ovvio le definizioni date.
Se Hi con i = 1, 2, . . . N < +∞ sono spazi di Hilbert, D(Ak) ⊂ Hk è un sottospazio denso ed
infine Ak : D(Ak) → Hk è un operatore autoaggiunto su Hk, ci si può chiedere se
I ⊗ · · · I ⊗ A ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I ,
ottenuto prendendo la chiusura di I ⊗ · · · ⊗ Ak ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I definito su H1 ⊗ · · · Hk−1 ⊗ D(Ak) ⊗
Hk+1 ⊗ · · · ⊗ HN, sia autoaggiunto. In realtà si può provare molto di più:
Teorema 9.5. Siano Ak : D(Ak) → Hk, con D(Ak) ⊂ Hk, per k = 1, 2, . . . , N operatori autoaggiunti
e sia Q(a1, . . . , an) un polinomio a coefficienti reali di grado nk nella k-esima variabile.
Sia Dk ⊂ D(Ak) un dominio di essenziale autoaggiunzione per A nk
k .
Se Ak := I ⊗ · · · ⊗I ⊗ Ak ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I allora:
(a) Q A1, . . . , A1 è essenzialmente autoaggiunto su N k=1 Dk;
(b) Lo spettro di Q A1, . . . ,
A1 è la chiusura dell’immagine di Q sul prodotto degli spettri di
Ak:
σ Q A1, . . .
A1
= Q (σ(A1), . . . , σ(AN )) .
274

Prova. Da inserire ✷.
Osservazioni
(1) Usando il teorema 9.5 si può rispondere alla domanda iniziale: se Ak è autoaggiunto, allora
l’operatore chiuso I ⊗ · · · I ⊗ Ak ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I è autoaggiunto: basta scegliere Dk = D(Ak) e
Di = Hi per i = k e notare che un operatore chiuso essenzialmente autoaggiunto è autoaggiunto
(l’unica estensione autoaggiunta è infatti la sua chiusura).
(2) La seconda parte del teorema 9.5 implica che, se Ak è un proiettore ortogonale, allora lo è
anche I ⊗ · · · I ⊗ Ak ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I. Infatti, se A è proiettore ortogonale, il suo spettro è uguale
o contenuto in {0, 1} (ed è chiuso). Per il teorema 9.5, usando il polinomio banale a ↦→ a, l’operatore
autoaggiunto I ⊗ · · · I ⊗ Ak ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I risulta avere lo stesso spettro. Per il teorema
spettrale, un operatore autoaggiunto è un proiettore ortogonale se e solo se ha spettro uguale o
incluso in {0, 1}. Quindi I ⊗ · · · I ⊗ Ak ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I è proiettore ortogonale.
275